Алгоритм расчета изгибаемых элементов 4 страница

 

10.5.3. Проверка устойчивости колонны

Проверка устойчивости колонны производится по условию (73), где λ_x, λ_y гибкости скомпонованного сечения (74, 75). (Примечание: обратить внимание на ориентацию сечения колонны относительно ее гибкости).

 

10.6. Расчет колонны сквозного сечения

В случае, когда расчетная длина колонны большая (l_x>10 м), нагрузка незначительная, рекомендуются колонны сквозного сечения.

Стержень сквозной колонны состоит из двух или нескольких прокатных профилей (уголков, швеллеров, двутавров и т.п. (рис. 31), соединенных в плоскости полок планками или решетками.

Ось, которая проходит через сечение ветвей, называется материальной, другая ось называется свободной.

 

Рис.30 Возможные варианты ориентации сечения колонны

 

Рис. 31 Типы сечений сквозных колонн

 

10.6.1. Определение требуемой площади сечения

Требуемая площадь сечения определяется по формуле (72).

Предварительно гибкость принимается по следующему условию:

l=90-60 при N<1500 кН,

l=60-40 при N=2500¸3000 кН.

По принятой гибкости λ и расчетному сопротивлению выбранной марки сталиR_yопределяется коэффициент устойчивости φ (табл.72/1/).

 

10.6.2. Компоновка сечения колонны

Первоначально необходимо принять тип сечения колонны (рис.31) и ее ориентацию относительно плоскости главных балок.

Необходимо правильно сориентировать оси колонны. Плоскость, по которой получается большая жесткость сечения, ориентируется в плоскости большей расчетной длины колонны (рис. 32).

Расчет сечения колонны ведется относительно материальной оси, а расстояние между ветвями определяется относительно свободной оси.

Рис. 32 Возможные варианты ориентации сечения сквозной колонны.

 

10.6.3. Расчет относительно материальной оси.(рис.33, 34)

Определяется по сортаменту тип профиля и номер проката с условием ∑A_x ≥ A_тр.

 

Рис. 33. Плоскость с наибольшей расчетной длиной совпадает с материальной осью. Колонна теряет устойчивость относительно свободной оси.

 

При N до 2500¸3500 кН рационально применение сквозных колонн из швеллеров, при N=3500¸5600 кН– из двутавров. Сечение, составленное из четырех уголков, применяется при незначительных усилиях и относительно большой длине колонны.

Рис. 34 Плоскость с наибольшей расчетной длиной совпадает со свободной осью. Колонна теряет устойчивость относительно материальной оси.

После принятия номера проката из сортамента выписывают основные геометрические характеристики для одной ветви относительно собственных осей A₁, J_x1, J_y1, i_x1, i_y1.

Проверка на устойчивость колонны относительно материальной оси обеспечена если выполняется условие:

 

, (ур.7/1/) (78)

где φ-коэффициент продольного изгиба, определяется по табл.72/1/, в зависимости от фактической гибкости относительно материальной оси λ=l/i, где i – радиус инерции скомпонованного сечения относительно материальной оси, l – расчетная длина колонны в плоскости материальной оси (рис. 33, 34).

 

 

С целью экономии стали должно выполняться условие

, (79)

 

10.6.4. Расчет относительно свободной оси

(определение расстояния между ветвями)

Расстояние между ветвями колонны определяется из условий равноустойчивости колонны в двух плоскостях λ_пр=λ_x.

При решетке из планок требуемая гибкость относительно свободной оси определяется по формуле:

 

, (ур.17/1/) (80)

где λ_пр – приведенная гибкость колонны, λ₁=30÷40– гибкость ветви относительно собственной оси параллельной свободной оси (рис. 35).

 

Для обеспечения нормальной работы ветвей необходимо выполнение следующего условия λ₁≤λ_y, в противном случае потеря устойчивости ветви произойдет раньше потери устойчивости колонны в целом.

В колоннах с раскосной решеткой гибкость определяется по формуле:

, (ур.20/1/) (81)

где α₁ – коэффициент, зависящий от типа сечения ветвей колонны (табл.8.1/3/), A – площадь сечения колонны, A_р – площадь сечения раскосов (для определения A_р необходимо предварительно назначить сечение раскосов).

 

Рис. 35. Колонна сквозная l₁– расчетная длина ветви, расстояние между планками; 1 – форма потери устойчивости ветви относительно оси 1-1.

 

По полученной гибкости λ_y определяется радиус инерции

 

i_y=l_y/ λ_y (82)

 

Требуемое расстояние между ветвями

 

b=i_y/α₂ (83)

где α₂ – коэффициент, зависящий от типа сечения ветвей колонны (табл.4).

Таблица 4

сечение
ix=a1h	0,21h	0,38h	0,43h	0,38h	0,43h	0,47h
iy=a2b	0,21b	0,44b	0,43b	0,60b	0,24b	0,40b

 

Расстояние между ветвями устанавливаем с учетом конструктивного зазора 100 мм между внутренними гранями ветвей, для осуществления вентиляции, окрашивания, очищения от пыли и грязи. Полная ширина сечения колонны вдоль материальной оси:

 

, (84)

где b_п – ширина полки ветви.

 

Проверка устойчивости колонны относительно свободной оси производится по условию (81), для этого по приведенной гибкости λ_пр определяется коэффициент φ_y. При этом приведенная гибкость сечения сквозной колонны, составленной из двух швеллеров, определяется по формулам:

- при наличии планок

 

, (ур.14/1/) при (85)

(ур.17/1/) при (86)

 

- при наличии раскосов

, (ур.20/1/) (87)

где, n=J_b1 b/J_s l ;b – расстояние между осями ветвей, м; l-расстояние между центрами планок, м; J_s – момент инерции одной планки относительно собственной оси x-x, м⁴; J_b1 – момент инерции сечения ветвей относительно оси 1-1, м⁴; А – полная площадь сечения стержня, м²; A_р – площадь сечения раскосов решетки в одной плоскости, м².

 

При других типах сечений приведенная гибкость определяется по табл.7/1/.

Проверка на устойчивость участка ветви между узлами крепления планок или раскосов относительно оси 1-1, параллельно свободной оси выполняется по формуле:

 

, (ур.7/1/) (88)

где A₁ - площадь сечения одной ветви, м², n – количество ветвей, φ₁ - коэффициент устойчивости ветви, определяется по фактической ее гибкости λ₁ относительно оси 1-1, параллельной свободной оси.

 

(89)

где l₁ – участок ветви, который проверяется на устойчивость, расстояние между узлами крепления планок или решеток, м; i₁ – радиус инерции ветви относительно оси 1-1, которая параллельна свободной оси всего сечения, м.

 

При невыполнении условия (88) необходимо уменьшить расстояние между узлами крепления планок или решеток.

 

11. Пример

Расчет центрально сжатой колонны

 

11.1. Колонна сплошного сечения

Исходные данные: расчетная сжимающая нагрузка на колонну с учетом собственного веса, длина колонны, берутся из предыдущего примера.

 

Выбор марки стали для колонны

Колонна относится к III группе конструкций (табл./50/1/). Принимаем марку стали С235.

R_yn=245 МПа; R_un=365 МПа; R_y=240 МПа; R_u=355 МПа – табл. 51/1/; g_m=1,025–табл.2/1/; R_s=0,58×R_yn/g_m=0,58×245/1,025=138,63 МПа–табл. 1/1/;

 

Выбор расчетной схемы

Расчетная схема колонны:

- в плоскости х–х: жесткое сопряжение с фундаментом; верхний конец свободен от закреплений (рис. 36);

- в плоскости y–y: шарнирное сопряжение с фундаментом; верхний конец закреплен от перемещений, промежуточные закрепления (рис. 36).

- расчетная длина в плоскости x-x;

– расчетная длина – y-y;

Сбор нагрузок на колонну

где ∑F_ОП = 98,14 кН – опорная реакция глав. балки;

где ∑A_гр = 14 м² – грузовая площадь колонны;

∑q = 6,49 кН/м² – расчетная нагрузка на настил.

Рис. 36. Расчетная схема колонны

 

Выбор типа сечения колонны

Примем в первом приближении λ=80, по табл. 72/1/ φ=0,686

Найдем требуемую площадь сечения:

По сортаменту подбираем двутавр I 20 (рис. 37):

h=200 мм; b_п=100 мм; t_п=8,4 мм; h_ст=183,2 мм; t_ст=5,2 мм; J_x=1840 см⁴; J_y=115 см⁴; i_x=8,28 см; i_y=2.07 см; A=26.8 см².

Сечение ориентируем по осям (рис 37).

Найдем фактическую гибкость колонны в плоскостях x-x, y-y:

, по табл. 72/1/ φ_min=0,340

 

Проверка устойчивости колонны

Устойчивость колонны обеспечивается.

Рис.37. Сечение колонны

 

Проверка равноустойчивости:

Колонна равноустойчива.

Местная устойчивость полок и стенки колонны прокатного сечения обеспечивается сортаментом.

 

11.2. Колонна сквозного сечения

Выбор марки стали для колонны

Колонна относится к III группе конструкций. Принимаем марку стали С235 (табл. 50/1/).

R_yn=245 МПа; R_un=365 МПа; R_y=240 МПа; R_u=355МПа – табл. 51/1/; g_m=1,025–табл.2/1/; R_s=0,58×R_yn/g_m=0,58×245/1,025=138,63 МПа–табл. 1/1/;

 

Выбор расчетной схемы

Расчетная схема колонны в плоскости х–х: жесткое сопряжение с фундаментом; верхний конец свободен от закреплений (рис. 38).

Расчетная схема колонны в плоскости y–y: шарнирное сопряжение с фундаментом; верхний конец закреплен от перемещений (рис. 38).

Рис. 38. Расчетная схема колонны

 

l_0x=H+h_З-h_ГБ-h_БН=5.61 м;

l_x=l_0xμ_x=5.61*2=11.2 м - расчетная длина в плоскости x-x;

l_y=l_0yμ_y=5.61*1=5.61 м– расчетная длина в плоскости y-y;

Сбор нагрузок на колонну

где ∑F_ОП = 98,14 кН – опорная реакция глав. балки;

где ∑A_гр = 14 м² – грузовая площадь колонны;

∑q = 6,49 кН/м² – расчетная нагрузка на настил.

;

 

Расчет относительно материальной оси.

Сечение стержня подбираем относительно материальной оси y-y. Задаемся гибкостью λ=70 и находим соответствующее значение φ=0,754(табл.72/1/).

Требуемая площадь сечения:

и радиус инерции i_y,тр=l_y/λ=561/70=8.02 см.

 

По сортаменту принимаем 2 швеллера [ 20 (рис.39) со значениями A и i, близкими к требуемым:

A=2*23.4=46.8 см²; h=200 мм; b=76 мм; d=5.2 мм; t=9 мм; z₀=2.07 мм; J_y=1520 см⁴; i_y=8.07 см; J₁=113 см⁴; i₁=2.2 см.

Сечение ориентируем по осям (рис. 33). Ось x-x совпадает с осью А. Материальная ось совпадает с плоскостью главной балки.

Рис. 39 (1-1), (y-y) – материальные оси

 

Расчет относительно свободной оси.

Определяем расстояние между ветвями колонны из условия равноустойчивости колонны в двух плоскостях λ_пр=λ_y.

Гибкость относительно свободной оси х-х:

.

Принимаем λ₁=30; λ_y=l_y/i_y=516/8.07=69.57;

находим .

Полученной гибкости соответствует радиус инерции i_x=l_x/λ_x=1120/62.8=17.9 см и требуемое расстояние между ветвями согласно табл. 8.3/3/ b=i_x/0.44=17.9/0.44=40.6 см.

Полученное расстояние должно быть не меньше двойной ширины полок швеллеров плюс зазор, необходимый для оправки внутренних поверхностей стержня, то есть b_тр≥2*76+100=252<406.4 мм;

Для дальнейшего расчета принимаем ширину b_тр=410 мм.

Проверка устойчивости колонны

Относительно материальной оси (y-y):

λ_y=l_y/i_y=561/8.07=69.57;

по табл. 72/1/ при помощи интерполяции находим φ = 0,750

Условие устойчивости

Устойчивость колонны в плоскости y-y обеспечена.

Проверка сечения колонны относительно свободной оси (x-x):

Для этого определяем геометрические характеристики всего сечения (геометрические характеристики ветвей даны в сортаменте):

J₁=113 см⁴; i₁=2.2 см; z₀=2.07 см.

Расчетная длина ветви l₀=λ₁i₁=30*2.2=66 см; принимаем расстояние между планками 66 см.

Определим сечение планок: b_пл=0,7b_тр=0,7*41=28,7 см, толщина 10мм. Принимаем планку сечением 300×10 мм.

Момент инерции планки J_пл=1,0*30³/12=2250 см⁴.

Для вычисления приведенной гибкости относительно свободной оси надо проверить отношение погонных жесткостей планки и ветвей:

,

где b₀=b_тр-2z₀=41-2*2.07=36.86 см

l_b=66+30=96 - расстояние между центрами планок по вертикали.

Радиус инерции сечения стержня относительно свободной оси:

Гибкость стержня относительно свободной оси:

по табл.72/1/ при помощи интерполяции находим φ = 0,800

Устойчивость колонны в плоскости x-x обеспечена.

Сечение колонны подобрано рациональным.

 

12. Конструирование и расчет узлов колонны

 

12.1. Соединительные планки

колонн сквозного сечения (безраскосная решетка)

12.1.1. Расстояние между планками

Расстояние между планками определяет расчетную длину ветви, которая может потерять устойчивость между ними в плоскости, параллельной свободной оси (рис.40).

Расстояние между планками определяется по формуле:

 

, (90)

где λ₁– гибкость отдельной ветви (см. расчет колонны), i₁ – радиус инерции ветви относительно оси параллельной свободной.

 

В сварных колоннах за расчетную длину ветви принимается расстояние между планками в свету.

 

12.1.2. Определение расчетных усилий,

приходящихся на одну планку.

Планки рассчитываются, как стойки в безраскосной ферме на условную поперечную силу. Условная поперечная сила в колонне принимается по данным, приведенным в табл.8.2/3/ или рассчитывается по формуле:

 

(ур.23/1/) (91)

где φ - коэффициент продольного изгиба, принимаемый для составного стержня в плоскости соединительных элементов (в плоскости свободной оси),

 

Поперечная сила, приходящаяся на планку одной грани определяется по формуле:

. (92)

 

Изгибающий момент и поперечная сила в месте прикрепления планки:

, (93)

, (94)

где l_b – расстояние между осями планок, м; b₀ – расстояние между осями ветвей, м (рис.40).

Рис. 40. Конструктивная и расчетная схемы планок

 

12.1.3. Определение размеров планок

Высота планок h_пл определяется из условия их соединения с полками ветвей. Рекомендуется принимать h_пл=(0,5÷0,75)b, где b – ширина колонны.

Толщина планок t_пл принимается конструктивно:

 

.

 

Длина планки b_пл принимается равной расстоянию в свету между ветвями колонны плюс 2(20÷30) мм, где (20÷30) мм- напуск планок на ветви, длина нахлеста должна быть не меньше 5t_max, t_max – максимальная из толщин: толщина планки или толщина полки ветви.

Кроме того, для обеспечения местной устойчивости планок необходимо выдержать соотношения:

, . (95)

 

12.1.4. Проверка прочности планок:

─ по нормальным напряжениям

 

, (ур.28/1/) (96)

 

─ по касательным напряжениям

 

, (ур.29/1/) (97)

 

─ от совместного действия нормальных и касательных напряжений

 

(ур.33/1/) (98)

 

Учитывая, что несущая способность планки больше, чем несущая способность сварных швов, прикрепляющих ее к ветвям колонны, проверяется прочность сварных швов.

 

12.1.5. Проверка прочности сварных швов,

крепящих планку

Сварной шов, соединяющий конец планки и ветви колонны, необходимо проверить на прочность на равнодействующее напряжение от изгиба и среза планки по формуле:

 

, (ур.126/1/) (99)

где σ_w=M_пл/W_w - напряжение в шве от изгибающего момента, МПа; - момент сопротивления шва, м³; l_w=(h_пл– 10)– длина шва, м; τ_w=F_пл/А_w - напряжение в шве от поперечной силы, МПа; A_w=k_fl_w - площадь среза сварного шва, м².

 

Соединительный сварной шов должен располагаться вдоль оси колонны, поперек оси планки.

При невыполнении условий (99) необходимо увеличить катет сварного шва, или увеличить прочность сварного шва, или увеличить ширину планки.

 

12.2. Раскосы для соединения ветвей

колонн сквозного сечения

Раскосы для сквозных колонн, как правило, выполняют из уголков. Раскосы используются при достаточно большом расстоянии между ветвями (рис.41)

 

12.2.1. Определение усилий в раскосах.

Решетку центрально сжатой колонны рассчитывают по условной поперечной силе. Усилие сжатия по формуле:

 

, (100)

где Q_усл - условная поперечная сила в колонне (принимается по данным, приведенным в табл. 8.2/3/ или рассчитывается по формуле (94), 2 – две грани, на которых имеются раскосы, a - угол между раскосом решетки и ветвью колонны, рекомендуется принимать a=(40÷50) ⁰.