Теорема Кронекера – Капелли
Теорема. Для того чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы равнялся рангу ее расширенной матрицы . Пример 1. С помощью критерия Кронекера – Капелли определить, будут ли совместны следующие системы: а) ; б) . Решение. а) Вычисляем ранг матриц . Для этого путем элементарных алгебраических преобразований приведем матрицу к ступенчатому виду : . 1. Умножаем элементы 1-ой строки на «-3» и складываем с элементами 2-ой строки, затем умножаем элементы 1-ой строки на «-1» и складываем с элементами 3-ей строки. 2. Умножаем элементы 2-ой строки на «-1» и складываем с элементами 3-ей строки. Число строк в полученной матрице равно 3, следовательно, согласно определению ранга матрицы (см. определение 3 §7 главы 1) имеем: . Аналогичным образом, получим . Т.к. , то в силу критерия Кронекера – Капелли, система решений не имеет (несовместна). б) Составляем расширенную матрицу: 1. Меняем местами 1-ую и 2-ую строки. 2. Умножаем элементы 1-ой строки последовательно на «-2»; на «-1»; на «-5» и на «-3» и складываем соответственно с элементами 2-ой, 3-ей, 4-ой и 5-ой строк. 3. Умножаем элементы 2-ой строки последовательно на «-2»; «-3» и «-1» и складываем соответственно с элементами 3-ей, 4-ой и 5-ой строк. 4. Вычеркивая нулевые строки, получаем ступенчатую матрицу. Число строк в полученной ступенчатой матрице равно 2 : ; ; , следовательно, система совместна. Замечание. Для сокращения записи мы приводим к ступенчатому виду одновременно матрицы . Однородные системы линейных уравнений. Определение 1. Система уравнений вида: (I) называется однородной. Очевидно, что система (I) всегда имеет решение : (нулевое решение). Таким образом, однородная система всегда совместна. Теорема. Если в системе (I) , то система (I) имеет единственное (следовательно, нулевое) решение, если определитель системы , и – бесчисленное множество решений (в том числе ненулевых), если . Замечание. Если в системе (I) (число уравнений меньше числа неизвестных), то система имеет бесчисленное множество решений. Примеры. Решить системы уравнений: а) ; б) . Решение. а) . Мы сложили соответствующие элементы 2-ой и 3-ей строк. Система имеет единственное (нулевое) решение : б) Решаем систему методом Гаусса (см. § 5). . Таким образом, . Система имеет бесчисленное множество решений. Давая различные значения, мы будем получать соответствующие решения заданной системы. Например, , тогда , получаем решение ; , тогда , получаем решение . При подстановке в уравнения системы этих чисел, убеждаемся, что каждый раз мы получаем решение. СЕМИНАР 1 Задание 1. Даны определители: , . Вычислить: а) определитель по правилу треугольников; б) определитель разложением по элементам 2-го столбца; в) определитель 4-го порядка . Решение: а)
б)
в) Для вычисления определителя 4-го порядка выберем строку (столбец), где больше нулей и, пользуясь свойством определителя (см. главу I §4 свойство 8), получим в этом столбце все нули, кроме, быть может, одного элемента. В нашем случае – это 3-ий столбец. Мысленно умножим элементы 1-ой строки на «-4» и сложим с элементами 2-ой строки, а затем умножим элементы 1-ой строки на «-2» и сложим с элементами 4-ой строки. Мы разложили определитель 4-го порядка по элементам 3-его столбца (см. главу I §4 свойство 9). В этом разложении 3 последних слагаемых, очевидно, равны нулю. Таким образом, вычисление определителя 4-го порядка сводится к вычислению определителя 3-го порядка. Умножим элементы 1-ого столбца этого определителя на «-1» и сложим с элементами 2-ого столбца :
.
Замечание 1. Следует обратить внимание на то, что та строка (столбец), которую мы умножаем, в определителе не изменяется. Меняется лишь та строка (столбец), к которой мы прибавляем результат умножения. Например, в нашем определителе 3-го порядка 1-ый столбец, который мы умножаем на «-1», вошел в новый определитель без изменения, поменялся лишь 2-ой столбец. Задание 2. Даны матрицы: , , . Найти: а) ; б) ; в) ; г) ; д) . Решение. а) . б) . в) . г) . д) . Найдем определитель матрицы A: следовательно, обратная матрица существует. Определим алгебраические дополнения : ; ; ; ; ; ; ; ; . Найдем (обратную матрицу к матрице А): . Проверка: Задание 3. Дана система линейных уравнений: Решить эту систему: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы; в) методом Гаусса. Решение. а) Найдем определитель системы : В этом определителе заменим 1- ый столбец столбцом свободных членов, получим определитель : . Вычислим определитель, который получается из определителя системы заменой 2-ого столбца столбцом свободных членов: . Аналогичным образом, заменяя в определителе системы 3-ий столбец столбцом свободных членов, получим : . Найдем значения x, y и z по формулам Крамера: ; ; . Ответ: , , . б) Рассмотрим матрицы: - матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных; - матрица свободных членов; - матрица неизвестных. Тогда, в матричной форме система линейных уравнений может быть записана следующим образом: . Если , то система имеет единственное решение, которое можно найти по формуле: . Для матрицы в задании №2 ( пункт д) нами была найдена обратная матрица: . Найдем матрицу : . Ответ: , , . в) Выпишем расширенную матрицу системы :
. 1. Проверяем: . 2. Мысленно умножим элементы 1-ой строку на «-1» и сложим с элементами 3-ей строки, получим: . 3. Проверяем: . 4. Мысленно умножим 2-ую строку на «1» и сложим с 3-ей строкой: , получаем матрицу ступенчатого вида (см. определение 2 §7 главы I). 5. Составляем систему уравнений, соответствующую матрице : . Подставляем в предпоследнее уравнение системы : , отсюда . Из первого уравнения находим .
Ответ: . Задание 4. Пользуясь критерием Кронекера – Капелли, исследовать систему линейных уравнений на совместность, и в случае совместности найти ее решение методом Гаусса . При переходе от 1-ой матрице ко 2-ой мы поменяли местами 1-ую и 2-ую строки для простоты вычислений, затем мысленно умножили элементы1-ой строки на «-2»; «-1» и «-5» и результат прибавили соответственно к элементам 2-ой, 3-ей, 4-ой строк, получили 3-ю матрицу. Затем перешли к 4-ой матрице: 1-ую и 2-ую строки оставили без изменения; умножив элементы 2-ой строки на «-2», затем на «-3», прибавили результаты умножения соответственно к элементам 3-ей и 4-ой строк. Затем убрали нулевые строки и перешли к матрице ступенчатого вида. Мы одновременно приводим к ступенчатому виду основную и расширенную матрицы и . По определению ранга матрицы (см. определение 3 §7 главы I) . В силу критерия Кронекера – Капелли система уравнений совместна. Переходим от последней матрицы к системе уравнений: . Из последнего уравнения выражаем : . И, подставляя это равенство в первое уравнение системы, получаем: , отсюда имеем: . Таким образом, полученная система имеет бесчисленное множество решений. Давая произвольные значения независимым переменным и , мы каждый раз будем получать частные решения системы.
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (580)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |