Лабораторная работа № 4. Собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы

1. Линейная комбинация векторов– сумма векторов с произвольными числовыми коэффициентами: λ₁∙a₁ + λ₂∙a₂ + … + λ_n∙a_n.

2. Линейно зависимые векторы– совокупность векторов, хотя бы один из которых может быть представлен в виде линейной комбинации остальных, в противном, векторы данной совокупности называются линейно независимыми.

3. Базис пространства – упорядоченная системамаксимально возможного числа линейно независимых векторов в этом пространстве. Число векторов, образующих базис пространства, определяет размерность этого пространства: в двумерном пространстве (на плоскости) в качестве базиса могут служить любые два неколлинеарных вектора, в трехмерном пространстве – любые три некомпланарных вектора.

4. Разложение вектора по базису пространства:представление вектора в виде линейной комбинации векторов базиса, так, если векторы q₁, q₂, … , q_n образуют базис в n-мерном пространстве, то любой вектор а в этом пространстве можно единственным образом представить в виде: a = а₁× q₁+ а₂× q₂+ … + а_n× q_n, при этом коэффициенты {a₁; a₂; …; a_n} называются координатами вектора a в этом базисе.

5. Критерий линейной независимостит векторов вп-мерном пространстве:т векторов (т £ п) являются линейно независимыми, если ранг матрицы, строки которой – координаты этих векторов в базисе их задания, равен т. В частности, п векторов в п-мерном пространстве линейно независимы, если определитель, строки которого – координаты этих векторов, не равен 0; если же этот определитель равен 0, то соответствующие п векторов линейно зависимы.

6. Ортогональный базис – базис пространства, состоящий из взаимно ортогональных векторов, т.е. для всех пар взаимно ортогональных векторов базиса скалярное произведение q_i×q_j= 0 (i ¹ j).

7. Нормирование вектора q – нахождение единичного вектора того же направления, что и вектор q: е = q.

8. Ортонормированный базис – базис пространства, состоящий из взаимно ортогональных векторов единичной длины.

9. Собственный вектор и собственное значение матрицы:если в результате произведения квадратной матрицы А на ненулевой вектор-столбец p получается вектор-столбец lр, где l – число, т.е. если А×р = l×р, то р называется собственным вектором матрицы А, а число l – собственным значением этой матрицы.

10. Идентификация собственных векторов и собственных значений матрицы:

Ø собственные значения l квадратной матрицы А являются действительными корнями уравнения det (А – λE) = 0, где E – единичная матрица, порядок которой совпадает с порядком матрицы А;

Ø координаты собственного вектора р, относящегося к собственному значению λ, находятся из матричного уравнения (А – λE)р = 0, в котором р – вектор-столбец соответствующих координат собственного вектора матрицы А;

Ø собственный вектор матрицы, относящийся к собственному значению λ, определяется с точностью до произвольного числового коэффициента;

Ø собственные векторы, относящиеся к различным собственным значениям, линейно независимы;

Ø симметрическая матрица порядка п всегда имеет п действительных собственных значений с учетом их кратности;

Ø собственные векторы симметрической матрицы, относящиеся к различным собственным значениям, ортогональны между собой;

Ø линейная комбинация собственных векторов матрицы А, относящихся к кратному собственному значению λ, также является собственным вектором этой матрицы, поэтому такими линейными комбинациями исчерпываются все собственные векторы матрицы А, относящиеся к собственному значению λ.