Лекция 38. Основные методы интегрирования. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций
Рассмотрим интегралы от некоторых классов тригонометрических функций. Начнем с наиболее общего случая – интеграла вида , (1) где под знаком интеграла стоит рациональная функция от тригонометрических аргументов. Этот интеграл с помощью подстановки (2) всегда сводится к интегралу от рациональной функции. Выразим sinx и cosx через , а следовательно, и через t: (3) Таким образом, sinx, cosx и dx выразились рационально через t. Так как рациональная функция от рациональных функций есть функция рациональная, то, подставляя полученные выражения в интеграл (1), получим интеграл от рациональной функции: . Подстановка (2) называется универсальной. Пример 1. Найти неопределенный интеграл . Решение. Выполним универсальную подстановку и на основании формул (2) и (3) имеем: . Использование универсальной подстановки при интегрировании функций часто приводит к громоздким подынтегральным функциям. Поэтому теперь перейдем к рассмотрению частных случаев. 1)Если подынтегральная функция имеет вид , но sinx и cosx входят только в четных степенях ( или если подынтегральная функция обладает свойством четности по двум переменным R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx) ), то гораздо более рационально применить не универсальную подстановку, а подстановку (4) используя эту подстановку и тригонометрические формулы, мы выразим sin2 x и cos2 x через tgx, а следовательно, через t: (5) После подстановки мы получим интеграл от рациональной функции Пример 3. Найти неопределенный интеграл . Решение. Выполним подстановку (4) и на основании формул (4) и (5) имеем 2) Если интеграл имеет вид (или если подынтегральная функция обладает свойством нечетности по второй переменной R(sinx,-cosx)=-R(sinx,cosx)), то подстановка приводит этот интеграл к виду . 3) Если интеграл имеет вид (или если подынтегральная функция обладает свойством нечетности по первой переменной R(-sinx,cosx)=-R(sinx,cosx)), то подстановка приводит этот интеграл к виду . 4)Если подынтегральная функция зависит только от tgx, то замена tgx=t, x=arctgt, приводит этот интеграл к интегралу от рациональной функции . Пример 4. Найти неопределенный интеграл . Решение. Этот интеграл легко привести к виду . Действительно, . Сделаем замену : 5) Рассмотрим интеграл вида с ограничением на подынтегральную функцию – под знаком интеграла стоит произведение ( где m и n – целые числа ). Для нас представляют интерес три случая. а) , где m и n таковы, что по крайней мере одно из них нечетное число. Допустим для определенности, что n нечетное. Положим n=2p+1 и преобразуем интеграл: , сделаем замену переменного: . Подставляя новую переменную в данный интеграл, получим , а это и есть интеграл от рациональной функции от t. Пример 5. Найти неопределенный интеграл . Решение. . Сделаем замену , получим:
б) , где m и n – числа неотрицательные и четные. Положим m=2p, n=2q. Используем формулы, известные из тригонометрии: . (6) Подставляя в интеграл, получим: . Возводя в степень и раскрывая скобки, получим члены, содержащие cos2x в четных и нечетных степенях. Члены с нечетными степенями интегрируются, как указано в пункте а). Четные показатели снова понижаем по формулам (6). Продолжая так, дойдем до членов вида , которые легко интегрируются. Пример 6. Найти неопределенный интеграл . Решение. в) Если оба показателя четные, причем хотя бы один из них отрицателен, то предыдущий прием не приводит к цели. Здесь следует сделать замену tgx=t (или ctgx=t ) Пример 7. Найти неопределенный интеграл . Решение. . Сделаем замену переменного: tgx=t, x=arctgt, , и мы получаем: . 6) В заключение рассмотрим интегралы вида: Они легко берутся при помощи следующих тригонометрических формул ( ): Подставляя и интегрируя, получим:
Аналогично вычисляются и два других интеграла. Пример 8. Найти неопределенный интеграл . Решение. . Упражнения.
Найти неопределенные интегралы: 1) . Ответ: . 2) . Ответ: . 3) . Ответ: . 4) . Ответ: . 5) . Ответ: . 6) Ответ: . 7) . Ответ: . 8) . Ответ: .
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (362)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |