Булева алгебра. Логические операции

SUBJECT 2. Components of the computer. Peripherals (3 hours)

ТЕМА 2. Компоненты компьютера. Периферийные устройства (3 часа)

Boolean algebra. Logical operations

Булева алгебра. Логические операции

The main provisions of the algebra of logic developed in the XIX century. English mathematician George Boole. The algebra of logic is also called Boolean algebra.	Основные положения алгебры логики разработал в XIX в. английский математик Джордж Буль. Алгебру логики называют также булевой алгеброй.
In Boolean algebra, binary variables are distinguished and switching functions. Binary variables can take two values: 0 and 1. They are also called logical or Boolean variables and are denoted by x1, x2, x3, ...	В булевой алгебре различают двоичные переменные и переключательные функции. Двоичные переменные могут принимать два значения: 0 и 1. Они называются также логическими или булевыми переменными и обозначаются символами х1,x2,х3,...
Switching function (PF) depends on the binary variables. They, like arguments, can take only two values: 0 or 1. PF is also called logical or Boolean functions. We denote the Fermi surface in the form f (x1, x2, x3, ...). specifying arguments in parentheses, either as y1, y2, y3, ....	Переключательные функции (ПФ) зависят от двоичных переменных. Они, как и аргументы, могут принимать лишь два значения: 0 или 1. ПФ называют также логическими или булевыми функциями. Будем обозначать ПФ в виде f(х1,x2,х3,...). указывая в скобках аргументы, либо в виде y1,y2,y3,... .
Set variables - is a set of binary variables, each of which may be 0 or 1. If the number of arguments (independent variables) PF equals n (i.e. x1, x2, x3, ... xn), then there exists two different combinations of these variables t. e. set.	Набор переменных — это совокупность значений двоичных переменных, каждая из которых может быть равна 0 или 1. Если число аргументов (независимых переменных) ПФ равно n (т.е. х1,x2,х3,...xn), то существует 2 различных сочетаний этих переменных, т. е. наборов.
Arbitrary FS can be expressed in the form of a function of binary variables (or other PF) using a limited number of elementary logic functions. Consider these features. Logical negation (NOT function). The logical negation of a variable x is such PF f1 (x), which has a value of 1 when x = 0 and 0 when x = 1. PF is not indicated in the form and read: «f1 is (equivalent to) not x"	Произвольная ПФ может быть выражена в форме функции от двоичных переменных (либо от других ПФ) с помощью ограниченного числа элементарных логических функций. Рассмотрим эти функции. Логическое отрицание (функция НЕ). Логическим отрицанием переменной х называется такая ПФ f1(x), которая имеет значение 1, когда x = 0 и значение 0, когда х= 1. ПФ НЕ обозначается в виде и читается: «f1 есть (эквивалентно) не х»
Truth table of the logical function NOT Таблица истинности логической функции НЕ х f1
Logical multiplication (conjunction). The conjunction of the two (or any other number) variables x1 and x2 is set to 1 only on the set in which all the variables are 1. On the other sets, this function is set to 0. The table is a truth table of the conjunction of two variables x1 and x2. PF conjunction is denoted as and read: «f2 is (equivalent to) x1 and x2». To denote the conjunction can use symbols or &. Conjunction is also called a function and, as it is set to 1 only if the first and second arguments are irrelevant 1.	Логическое умножение (конъюнкция). Конъюнкция двух (или любого другого числа) переменных х1 и х2 принимает значение 1 только на наборе, в котором все переменные имеют значения 1. На остальных наборах эта функция имеет значение 0. Таблица представляет собой таблицу истинности конъюнкции двух переменных х1 и x2. ПФ конъюнкция обозначается в виде и читается: «f2 есть (эквивалентно) х1 и x2». Для обозначения конъюнкции можно использовать символы или &. Конъюнкция называется также функцией И, так как она имеет значение 1, только если первый и второй аргументы имеют значения 1.
Logical multiplication (conjunction) Логическое умножение (конъюнкция) x1 x2 f2
Logical addition (disjunction). The disjunction of two (or any other number) variables x1 and x2 is 0 only on the set, in which all variables have a value of 0. If at least one of the variables is equal to 1, the function will be set to 1. PF disjunction is written in the form and read: «f3 is (equivalent to) x1 or x2». Also the + character, used for disjunction symbol V. Since the function of the disjunction is set to 1 if the first and second arguments are set to 1, the operation is also called disjunction OR operation.	Логическое сложение (дизъюнкция). Дизъюнкция двух (или любого другого числа) переменных х1 и х2 имеет значение 0 только на наборе, в котором все переменные имеют значение 0. Если хотя бы одна из переменных равна 1, функция будет иметь значение 1. ПФ дизъюнкция записывается в виде и читается: «f3 есть (эквивалентно) х1 или x2». Кроме символа + , для дизъюнкции употребляется символ V. Так как функция дизъюнкции имеет значение 1, если первый или второй аргументы имеют значение 1, операция дизъюнкции называется также операцией ИЛИ.
Logical addition (disjunction). Логическое сложение (дизъюнкция). x1 x2 f3
The negation of the conjunction (AND operation - NOT). This feature is produced by negating the result obtained in step I. From the comparison table it is clear that the PD and - is the negation (NOT operation) conjunctions. PF and - written in the form .	Отрицание конъюнкции (операция И — НЕ). Эта функция образуется путем отрицания результата, получаемого при выполнении операции И. Из сравнения таблиц видно, что ПФ И — НЕ является отрицанием (операцией НЕ) конъюнкции. ПФ И — НЕ записывается в виде
The negation of the conjunction (AND operation - NOT). Отрицание конъюнкции (операция И — НЕ). x1 x2 f4
The negation of the disjunction (OR operation - NOT). This operation formed by the negation of the result obtained in the performance or operation. From the comparison table shows that the PF or - is the negation (NOT operation) disjunction. PF OR - NOT written as	Отрицание дизъюнкции (операция ИЛИ — НЕ). Эта операция образуется путем отрицания результата, полученного при выполнении операции ИЛИ. Из сравнения таблиц видно, что ПФ ИЛИ — НЕ является отрицанием (операцией НЕ) дизъюнкции. ПФ ИЛИ — НЕ записывается в виде
The negation of the disjunction (OR operation - NOT). Отрицание дизъюнкции (операция ИЛИ — НЕ). x1 x2 f5
XOR (unequal operation or modulo two). This function has the value 1 to the variable sets in which the number of ones is odd. This operation is recorded for the two variables in the form / Operation unequal expressed through operations NOT, AND, OR, in the form .	ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ (операция НЕРАВНОЗНАЧНОСТЬ или СЛОЖЕНИЕ ПО МОДУЛЮ ДВА). Данная функция имеет значение 1 на тех наборах переменных, в которых число единиц нечетно. Эта операция записывается для двух переменных в виде / Операция НЕРАВНОЗНАЧНОСТЬ выражается через операции НЕ, И, ИЛИ в виде .
XOR (unequal operation or modulo two). ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ (операция НЕРАВНОЗНАЧНОСТЬ или СЛОЖЕНИЕ ПО МОДУЛЮ ДВА). x1 x2 f6
An exclusive OR operation - not (equivalent to). Equivalent to the function is a negation of the exclusive OR operation. This operation has the value 1 to the sets of variables to contain an even number of units. This operation is recorded for two variables in the form of . An exclusive OR operation - not expressed in terms of operations NOT, AND, OR, in the form .	Операция ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ — НЕ (РАВНОЗНАЧНОСТЬ). Функция РАВНОЗНАЧНОСТЬпредставляет собой отрицание операции ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ. Данная операция имеет значение 1 на тех наборах переменных, которые содержат четное число единиц. Эта операция записывается для двух переменных в виде . Операция ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ — НЕ выражается через операции НЕ, И, ИЛИ в виде .
An exclusive OR operation - not (equivalent to). Операция ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ — НЕ (РАВНОЗНАЧНОСТЬ). x1 x2 f6
HOME WORK
Given the binary numbers A and B (the data in the table). Perform operations: - denial - Logical addition - Denial or - Logical multiplication - Denial and - XOR - Denial of the exclusive-OR	Даны двоичных числа А и В (данные в таблице). Выполнить операции: - отрицание - логическое сложение - отрицание ИЛИ - логическое умножение - отрицание И - исключающее ИЛИ - отрицание исключающего ИЛИ