Сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю

Лекция - механика

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

И

МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Основные законы и формулы

Основной закон динамики точки:

В векторной форме: (1)

В координатной форме:

 

(1*)

 

 

Количество движения материальной точки:

 

 

это мера движения.

Определение: количеством движения материальной точки называют векторную величину, равную произведению массы точки на вектор ее скорости.

Формулаглавного вектора количества движения для механической системы

 

Для твердого тела с центром масс в точке С:

 

где: М_С – масса тела.

Теоремы об изменении количества движения точки:

 

Теорема об изменении количества движения материальной точки

в интегральной форме:

Полный импульс силы

за любой промежуток времени t₁

равен определенному интегралу от элементарного импульса, взятому в пределах от нуля до t₁:

 

Импульс силы:

 

 

Далее уравнение решается в зависимости от вида функции F(t).

 

 

Количество движения колеса: ,

где: w – угловая скорость вращения барабана;

J_z – момент инерции барабана;

Теорема об изменении количества движения механической системы:

в дифференциальной форме:

в интегральной форме:

 

где: – сумма всех внешних сил и сумма всех внутренних сил;

– сумма импульсов всех внешних сил, действующих на механическую систему.

если движение равномерное, т.е. v_c = const.

 

сумма всех внутренних сил, действующих на механическую систему равна нулю

 

2) сумма моментов всех внутренних сил, действующих на механическую систему, относительно некоторого центра равна нулю

Теорема о движении центра масс механической системы:

– произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил

 

Если сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю:

 

 

то из теоремы о движении центра масс механической системы следует, что a_C=0 и v_C=const, следовательно, если сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то центр масс этой системы движется с постоянной по модулю и направлению скоростью, т.е. равномерно и прямолинейно.

 

Формула момента количества движения для материальной точки

 

– векторное произведение радиуса-вектора на вектор

количества движения.

 

Теорема об изменении кинетического момента (момента количества движения) материальной точки относительно неподвижного центра:

Формула кинетического момента (момента количества движения) для механической системы

,

для вращающегося телавокруг неподвижной оси z:

– кинетический момент количества движения тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость тела.

 

Инертность – свойство тела сопротивляться изменению состояния покоя или равномерного прямолинейного движения.

 

Мера инертности:

а) для поступательно движущегося тела – массаm;

b) для вращающегося тела – момент инерции J_z.

Если вращение вокруг этого центра – равномерное, т.е. с постоянной угловой скоростью. (смотри формулу в К-23).

 

Теорема об изменении кинетического момента механической системы точек:

Дифференциальное уравнение для вращающегося твердого тела:

 

– произведение момента инерции тела на угловое ускорение равно сумме всех действующих на тело сил.

 

Моментом инерции тела(системы) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

(1)

 

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу:

(2)

 

где интегрирование производится по всему объему тела. Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы, применяемые часто при решении многих задач:

 

Тело	Положение оси вращения	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиусом R	Ось симметрии
Сплошной цилиндр или диск радиусом R	То же
Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину
Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец
Шар радиусом R	Ось проходит через центр шара

 

Кинетический момент материальной точки:

Или в аналитическом виде:

 

Элементарной работой силы Fназывается скалярная величина:

где: F_t – проекция силы Fна касательную к траектории, t

направленную в сторону перемещения точки, dS – v

бесконечно малое перемещение точки, направленное F_n F_t

вдоль этой касательной.

Так как F_t = F·Сosa, то получим:

 

Т.о. элементарная работа силы равна проекции силы на направление перемещения точки, умноженной на элементарное перемещение.

Если a=0, то

Если a=90⁰, то

Если a=180⁰, то

 

Работа силы тяжести равна взятому со знаком «+» или «–» произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки ее приложения:

A(P) = ± P h.

 

Если тело поднимается, то работа силы тяжести

положительна, если тело опускается, то работа

силы тяжести отрицательна.

Мощность

– величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени:

 

 

Отсюда, мощность равна произведению касательной составляющей силы на скорость движения.

Единицей измерения в системе СИ является ватт (1 вт=1 дж/с).

 

Элементарная работа силы, приложенной к вращающемуся твердому телу равна произведению момента силы, приложенной к твердому телу, на элементарное угловое перемещение

 

 

Полная работа силы, приложенной к вращающемуся твердому телу равна произведению момента силы, приложенной к твердому телу, на угол поворота:

y

Работа силы тяжести равна:

Р′ a

Работу совершает только Р′ составляющая Р

силы тяжести. Вторая составляющая Р

перпендикулярна перемещению lР

(т.е. поверхности наклонной плоскости), поэтому работа ее равнанулю.

М_z

w

 

 

Кинетической энергией (или живой силой) точки называется скалярная величина 0,5 mv², равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости:

Кинетической энергией тела при его поступательном движении

называют

скалярную величину Т, равную половине произведения массы тела на квадрат скорости его центра масс:

где: М – масса всего тела, – квадрат скорости центра масс тела

Формула показывает: тело при поступательном движении ведет себя так как материальная точка.

 

Для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, кинетическая энергия равна половине произведения момента инерции тела относительно оси на квадрат угловой скорости этого тела:

Для тела, движущегося плоскопараллельно, кинетическая энергия состоит из двух слагаемых: кинетическая энергия поступательного движения как центр масс и кинетическая энергия вращательного движения относительно оси вращения:

 

 

 

Уравнение, выражающее теорему об изменении кинетической энергиимеханической системы в дифференциальной форме:

 

;

 

и в интегральной форме:

 

 

В первом уравнении (по порядку): дифференциал кинетической энергии равен сумме элементарных работ всех внешних сил плюс сумме элементарных работ всех внутренних сил.

Во втором уравнении (по порядку): кинетическая энергия в конечное время минус кинетическая энергия в начальное время равны сумме полных работ всех внешних сил плюс сумме полных работ всех внутренних сил.