Из истории возникновения

Шаром принято называть тело, ограниченное сферой, т.е. шар и сфера – это разные геометрические тела. Однако оба слова « шар» и « сфера» происходят от одного и того же греческого слова « сфайра» - мяч. При этом слово « шар» образовалось от перехода согласных сф в ш. В XI книге «Начал» Евклид определяет шар как фигуру, описанную вращающимся около неподвижного диаметра полукругом. В древности сфера была в большом почёте. Астрономические наблюдения над небесным сводом неизменно вызывали образ сферы. Сфера всегда широко применялось в различных областях науки и техники.

Определение: Геометрическое тело, полученное при вращении полукруга вокруг его диаметра, называется шаром.

Определение: Радиусом сферы (шара) называется отрезок, соединяющий центр сферы (шара) с любой её точкой.

Определение: Хордой сферы называется отрезок, соединяющий две любые её точки.

 

Определение: Диаметром сферы называется хорда, проходящая через её центр.

 

Сечение шара плоскостью.

Любое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга – основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость. Сечение, проходящее через центр шара, называется диаметральным сечением (большим кругом).

 

Касательная плоскость к сфере.

 

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

1. Площадь сферы: S=4πR², R – радиус сферы

2. Объем шара:

Упражнения:

Объем шара равен 12348. Найдите площадь его поверхности.

Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить в 28 раз?

Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в пять раз?

Объем прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы, равен 10648. Найдите радиус сферы.

Объем прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы, равен 10648. Найдите радиус сферы.

Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 81. Найдите площадь поверхности шара.

Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 81. Найдите площадь поверхности шара.

Цилиндр описан около шара. Объем цилиндра равен 6. Найдите объем шара.

9. Около куба с ребром √243 описан шар. Найдите объем этого шара.

Объем одного шара в 1331 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Радиусы двух шаров равны 7 и 24. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.

Радиусы трех шаров равны 1, 6 и 8. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

Цилиндр описан около шара. Объем цилиндра равен 6. Найдите объем шара.

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 156. Найдите объем конуса.

Контрольные вопросы по теме «Геометрические тела, их поверхности и объемы»

1. Дать определения призмы, прямой призмы, правильной призмы.

2. Сформулировать свойства призмы.

3. Дать определение высоты призмы.

4. Дать определения параллелепипеда, прямого параллелепипеда, прямоугольного параллелепипеда, куба.

5. Сформулировать свойства параллелепипеда.

6. Дать определение линейных размеров прямоугольного параллелепипеда.

7. Дать определение перпендикулярного сечения призмы.

8. Формула площади полной поверхности призмы, площади боковой поверхности призмы.

9. Дать определения пирамиды, усеченной пирамиды.

10. Дать определение высоты пирамиды, высоты усеченной пирамиды.

11. Дать определения правильной пирамиды, правильной усеченной пирамиды.

12. Сформулировать свойства правильной пирамиды.

13. Дать определение апофемы правильной пирамиды, правильной усеченной пирамиды.

14. Площадь полной поверхности пирамиды, площадь боковой поверхности пирамиды.

15. Площадь полной поверхности, площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.

16. Формулы площади полной поверхности пирамиды, усеченной пирамиды.

17. Теорема о площади боковой поверхности правильной пирамиды, правильной усеченной пирамиды.

18. Формулы объема прямой призмы, наклонной призмы.

19. Формулы объема пирамиды, усеченной пирамиды.

20. Дать определения цилиндра, конуса, усеченного конуса, шара.

21. Дать определение развертки боковой поверхности цилиндра, конуса, усеченного конуса.

22. Формулы поверхности и объема цилиндра, конуса, усеченного конуса, шара.