Неявное задание кривой
Рассмотрим геометрическое место точек M(х, у), координаты которых удовлетворяют уравнению:
где функция F(x,у) непрерывно дифференцируема по обоим аргументам в области U на плоскости xy. Для того чтобы можно было утверждать, что это геометрическое место точек в окрестности некоторой точки М0 области U образует линию (простую дугу), надо задать начальную точку М0(х0, у0), координаты которой удовлетворяют уравнению (1) и не обращают в нуль одновременно обе частные производные:
Теорема 1. Пусть уравнение (7) допускает начальную точку ; функция непрерывно дифференцируема по каждому аргументу в окрестности начальной точки , и производная в этой точке отлична от нуля: . Тогда существует одна и только одна функция , которая в некоторой окрестности начальной точки удовлетворяет уравнению (7) и при принимает значение . Эта функция имеет в данной окрестности непрерывную производную . Доказательство данной теоремы следует из теорем о существовании неявной функции и её дифференцируемости.[12 пп.206, 207] Итак, угловой коэффициент касательной равен , но тогда уравнение касательной в точке принимает вид:
а уравнение нормали имеет вид:
Следствие. Уравнение , где F(x,y)- функция, допускающая в области U плоскости непрерывные частные производные по обоим аргументам, не обращающиеся одновременно в нуль, определяет в этой области регулярный кусок кривой, если найдется в ней хотя бы одна точка М0(х0,у0), координаты которой, удовлетворяют уравнению. Особые точки Мы предполагаем, что функция F(х,у) непрерывно дифференцируема три раза по обоим аргументам. Условие регулярности кривой (7) нарушается в точках, где обе частные производные первого порядка равны нулю:
Следовательно, подлежат исследованию точки, координаты которых удовлетворяют трем уравнениям: (7), (11). Если в такой точке не все производные 2-го порядка равны нулю, то точка называется двойной. 1. Касательные в двойной точке. Через двойную точку М0 может проходить не более двух ветвей кривой с угловыми коэффициентами касательных , определяемыми уравнением
где . 2. Изолированная точка. Введем обозначение . Если , то в достаточно малом круге с центром M0, кроме этой точки, нет других, координаты которых удовлетворяли бы уравнению(7). Особая точка называется изолированной. 3. Точка самопересечения. Если < 0, то через точку M0 проходят две простые дуги с различными касательными (уравнение (12) имеет два различных корня к1 и к2). Особая точка называется точкой самопересечения(узел). 4. Точки возврата и самоприкосновения. Если в точке кривой (7) =0, то для исследования поведения кривой вблизи данной точки требуются более сложные рассуждения с привлечением производных 3-го (а порой и более высокого) порядка. Рассмотрим основные возможности, которые здесь представляются. 1) Вблизи точки , кроме неё самой, нет точек кривой, т.е. - изолированная точка (как и в п.2). 2) Через точку проходят две ветви кривой, имеющие в ней общую касательную. a) Точка - точка самоприкосновения (рис. 3) b) Точка - точка возврата первого рода (рис. 4) c) Точка - точка возврата второго рода (рис. 5)
Асимптоты Для отыскания асимптот, параллельных оси абсцисс, надо искать предельное значение ординаты y=b при . Если кривая — алгебраическая (F(x,у) — многочлен), то достаточно приравнять к нулю коэффициент при старшей степени х. Если полученное уравнение допускает решение y=bi, то оно даст все асимптоты: . Действительно, если собрать члены с одинаковыми степенями х и записать уравнение кривой в виде , то, деля любые части уравнения на xp: и переходя к пределу при , , заметим, что все функции обратятся в и сохранят конечные значения, следовательно, все члены уравнения, имеющие делителем х, обратятся в нуль, и для определения b мы получим уравнение . Аналогично находятся асимптоты, параллельные оси ординат. Чтобы найти асимптоты, не параллельные осям координат , надо найти пределы . Полагая , подставляя в уравнение и исключая ординату, мы получаем уравнение: надо найти . Аналогично, полагая , исключаем из уравнения F(x,у)=0 ординату у. Поскольку k известно, получаем уравнение: и снова имеем: .
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (363)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |