Некоторые примеры линий, заданных неявно, исследование которых проводится на основе обычной школьной программы
Пример 1. Построить кривую: Решение. Данное уравнение можно преобразовать к виду и потом представить как 2 уравнения:
или в виде: Построить графики этих двух функций не является большой проблемой (рис. 10). Точка М – точка самопересечения (узел)
Пример 2. Построить кривую: Данное уравнения можно привести к виду: , что является окружностью с центром в точке С(3; -5) и радусом 2 (рис. 11).
Пример 3. Построить кривую: Выполним преобразование: . Потом введем обозначение или - гипербола (рис. 12)
Линии второго порядка, заданные неявно Существует 9 типов линий второго порядка. Все они представлены ниже. 1. - эллипс 2. - мнимый эллипс 3. а) , б) - гиперболы 4. - пара пересекающихся прямых 5. - пара мнимых пересекающихся прямых 6. - пара параллельных прямых 7. - пара мнимых параллельных прямых 8. - пара совпавших прямых 9. а) , б) - параболы Замечание. Линия 1 рассмотрена в приложении 2. Линии 4, 6, 8, 9 рассматриваются в обычном школьном курсе математики 4.3. Исследование линий, заданных неявно, на основе теории, рассмотренной в §3 главы I Здесь в спецкурс можно включить задачи типа 1, 4, 5 §4 главы I, или задачи типа примера 1, пункта 1.4, где, выполнив дополнительные исследования, можно показать, что точка М – точка самопересечения.
Заключение В данной работе рассмотрены только отдельные вопросы теории кривых. Понятно, что следовало бы разработать отдельно следующие темы: 1) Некоторые вопросы топологии в школьном курсе математики 2) Исследование линий, заданных параметрически 3) Разработать уроки на тему: «линии второго порядка, заданные неявно» 4) Приложение данной теории в физике 5) Привести большее число задач, иллюстрирующих данную теорию
Приложение А Примерный план спецкурса «Исследование линий на плоскости, заданных явно и неявно»
Замечание:данный спецкурс можно разбить на 2 части: 1 часть – 9 класс (темы: 1.1 (3 часа), 1.2 (2 часа), 1.3 (2 часа), 1.4 (2 часа), 1.6 (2 часа), 1.7 (4 часа)). Остальные вопросы можно рассмотреть в 10-11 классах. Приложение Б Здесь в качестве примера мы рассмотрим теоретическую часть одного из возможных уроков. Замечание: Даная тема рассматривается в 9 классе (когда изучены темы: окружность, синус и косинус угла, симметрия), может служить хорошей основой для последующего изучения тем в математике (параллельное проектирование, изображение круглых тел и т.п.) и в физике. План – конспект урока Класс: 9 класс Тема: Эллипс Цель урока: Дать основные понятия и свойства эллипса Задачи: Общеобразовательные: расширение понятийной базы по учебному предмету за счет включения в нее новых элементов Развивающие: развивать в учениках математическую культуру, логическое мышление. Воспитательные: создать интерес учащихся к науке, вне школьной программы. Дидактическое оснащение урока: доска, план-конспект, письменные принадлежности.
Краткий план урока: Содержание урока 1. Начало урока. Организационный момент. Объявление темы урока. 2. Основная часть урока. Речь учителя: Как мы знаем из школьного курса, окружность - замкнутая кривая, все точки которой равно удалены от центра. Но окружность является частным случаем эллипса. Эллипс – множество всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до точек F1, F2 той же плоскости есть величина постоянная. Где точки F1, F2 – фокусы эллипса, а расстояние между ними – фокальное расстояние.
Фокальными радиусами т. М называются отрезки F1M, F2M, если M – точка данного эллипса. Найдем уравнение эллипса в прямоугольной системе координат , где О – середина отрезка F1F2, а (рис.1). В выбранной системе координат фокусы F1 F2 эллипса имеют координаты F1(c,0), F2(-c,0), поэтому фокальные радиусы произвольной точки М(х, у) эллипса равны:
Т.к. F1M+F2M=2a, поэтому или в другом виде . Возводя его в квадрат и приводя подобные члены, получим: . Снова возводя в квадрат, после преобразований получим
где (3). Таким образом, мы доказали, что координаты любой точки эллипса удовлетворяют уравнению (2). Уравнение (2) называется каноническим уравнением эллипса. Рассмотрим свойства эллипса. Если , то , поэтому т. О – центр симметрии эллипса
Если , где - эллипс, то х, у удовлетворяют уравнению (2), поэтому , т.е. все точки эллипса принадлежат прямоугольнику М1М2М3М4 (рис. 2) Если , то и . Отсюда следует, что прямые Ох и Оу являются осями симметрии эллипса. Каждая ось симметрии пересекается с эллипсом в двух точках: . Эти точки называются вершинами симметрии(рис. 2). Отрезки A1A2 и B1B2 называются большой и малой осями эллипса, соответственно. Центр О является серединой отрезка.
Чтобы получить представление о виде эллипса, заданного уравнением (2), следует построить несколько точек эллипса. При этом достаточно рассмотреть только точки первой четверти, т.к. эллипс симметричен относительно осей координат. Для точки M (x, y) первой четверти ( ) имеем: (рис. 3). Эксцентриситетом эллипса называется число , где с – фокальное расстояние, а – большая полуось, т.е. . только тогда, когда эллипс – окружность, т.е. с = 0. С увеличением эксцентриситета уменьшается «ширина» эллипса. Из определения и свойств перечисленных выше следует способ построения эллипса.
Рассмотрим способ построения точек эллипса с помощью циркуля и линейки, если заданы его оси A1A2 и B1B2. На отрезках A1A2 и B1B2 как на диаметрах построим две концентрические окружности и (рис. 6). Проведем ряд радиусов большей окружности. Через их концы проведем прямые, параллельные малой оси, а через точки пересечения этих радиусов с меньшей окружностью – прямые, параллельные большей оси. Тогда точки пересечения прямых, соответствующих одному и тому же радиусу, будут точками эллипса с заданными осями. 3. Завершение урока. Таким образом, на сегодняшнем занятии мы рассмотрели основные определения эллипса и некоторые его свойства.
Список литературы 1. Александров, Н. В. Курс общей физики. Механика: учеб. пособие / Н. В. Александров, А.Я. Яшкин. – М.: Просвещение, 1978. – 416с. 2. Алимов, Ш.А. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы / Ш.А. Алимов [и др.]. – М.: Просвещение, 2012. – 464 с. 3. Атанасян, Л.С. Геометрия. 7-9 классы. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев – М.: Просвещение, 2014. – 383с. 4. Барский, И. Б. Элементы общей топологии и теории топологических многообразий: учеб. пособие / И. Б. Барский. – Йошкар-Ола: Марийский государственный университет, 2011. – 224с. 5. Колмогоров, А.Н. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. / А.Н. Колмогоров, А.М [и др.]. – М.: Просвещение, 2008. – 384 с. 6. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч., Ч.1 / А.Г. Мордкович [и др.]. – М.: Мнемозина, 2013. –400с. 7. Погорелов, А.В. Геометрия. 7-9 классы. / А.В. Погорелов – М.: Просвещение, 2014. – 240с. 8. Погорелов, А.В. Геометрия / А.В. Погорелов. – М.: Наука, 1983. – 290с. 9. Саранцев, Г.И. Методика обучения геометрии: учеб. пособие для студентов ВУЗов по направлению "Педагогическое образование" / Саранцев Г.И. – Казань.: Центр инновационных технологий, 2011. – 228с. 10. Феденко, А.С. Сборник задач по дифференциальной геометрии: учеб. пособие / А.С. Феденко [и др.]. – М.: Наука, 1979. – 272с. 11. Фиников, С.П. Дифференциальная геометрия. Методическое пособие для студентов педагогических институтов: учеб. пособие / С.П. Фиников. – М.: Учпедгиз, 1949. – 109с. 12. Фиников, С.П. Дифференциальная геометрия: учеб. пособие / С.П. Фиников. – М.: Учпедгиз, 1955. – 215с. 13. Фихтенгольц, Г.М. Основы математического анализа. Т.1. / Г.М. Фихтенгольц – М.: Наука, 2005. – 440с.
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (448)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |