Решение линейных уравнений

Целые выражения и рациональные дроби

 

Рациональное выражение – выражения, составленные из чисел, переменных, скобок, степеней с целыми показателями, соединенных с помощью знаков арифметических действий +, −, · и :, где деление может быть обозначено чертой дроби.

 

Примеры:

 

Преобразование рациональных выражений

Если рациональное выражение не содержит неизвестной в знаменателе какой-либо своей части, то для преобразования (упрощения) выражения нужно:

1) Оценить действия, которые можно выполнить в этом выражении: проверить на:

a. наличие формул;

b. необходимость раскрытия скобок;

c. возможность приведения подобных;

d. возможность вынесения общего множителя за скобки;

e. возможность группировки отдельных частей для последующего разложения на множители.

2) Выполнить эти действия в строчку или по действиям.

 

Если рациональное выражение содержит неизвестные в знаменателе какой-либо своей части, то для преобразования (упрощения) выражения нужно:

1) Заменить все операции деления «:» на операцию умножения на обратную дробь.

2) В получившихся дробях максимально разложить знаменатели на простые множители, используя формулы сокращенного умножения, способ группировки и вынесения общего множителя за скобки, способ разложения квадратного трехчлена на множители.

3) Определить общий знаменатель дробей, распределить дополнительные множители.

4) Записать получившиеся числители под найденным общим знаменателем и упрощать приведением подобных, сокращением и т.д.

Нахождение значений выражений

Когда нам дают рациональное выражение и указывают значения переменных в нём мы должны:

1) Прочитать задание и понять, что нужно сделать.

2) Максимально упростить наше выражение.

3) В упрощенное выражение подставить вместо наших переменных соответствующие им числа, которые даны в условии.

4) Выполнить арифметические действия и получить результат.

5) Проверить соответствие вопроса задачи и нашего ответа.

 

Свойства степени с целым показателем.

 

Решение линейных уравнений

Линейное уравнение – уравнение, в котором полная степень любого многочлена равна 1. Это надо понимать так:

1) переменная не может быть ни в какой степени кроме 1,

2) переменная не может быть умножена на что-либо кроме числа.

 

 

Примеры линейных уравнений:

 

 

Разберем решение некоторых уравнений:

 

1) 5x = 2

Наше уравнение уже максимально упрощено, остается только «вылечить» Х от ненужной ему «5». Для этого поделим левую и правую части уравнения на 5.

Ответ: {0,4}.

 

В решении этого уравнения мы воспользовались правилом:

Каждую часть уравнения можно умножать или делить на любое число кроме нуля.

 

2) -2x +3 = 4

Это уравнение надо упростить к виду предыдущего, т.е. все слагаемые с неизвестной собрать в левой части, а все числа собрать в правой.

-2x = 4 – 3

 

-2x = 1

Далее поступаем как в предыдущем примере:

Ответ: {-0,5}.

 

В решении этого уравнения мы воспользовались правилом:

Любой многочлен уравнения можно переносить из одной части уравнения в другую, если поменять его знак на противоположный.

В нашем случае мы переносили (+3) из левой части в правую, где она стала уже (-3).

 

3) 3(x+1) – 2 = -5x – 4

Это уравнение тоже нужно сначала упростить. Для этого мы раскроем скобки и потом перенесениями соберем всё с Х в левой части, а без Х – в правой.

3x + 3 – 2 = -5x – 4

 

3x + 5x = -4 -3 + 2

 

8x = -5

Ответ: {-0,625}.

 

4)

Это уравнение, на первый взгляд, не кажется линейным из-за наличия в нем дробей. На самом деле, его очень легко сделать линейным с помощью правила из пункта 1). Нужно домножить обе части уравнения на число, которое называется наименьшим общим кратным наших знаменателей (НОК знаменателей). Это такое число, которое делится на них нацело, т.е. оптимальное – число 6.

 

Ответ: { }.

 

5) Последнее уравнение я запишу без текстовых комментариев. Постарайтесь в нем разобраться сами.