Образец выполнения задания № 2

Задача. Дана функция и значения аргумента , . Найти:

1) Точку , в которой функция не определена.

2) Найти односторонние пределы функции в точке .

3) Найти предел функции при и при

4) Сделать схематический чертеж.

 

Решение: Исследуем на непрерывность в точке . По определению: функция непрерывна в точке , если .

1) Знаменатель дроби приравняем к нулю, получим . Значит, - точка, в которой функция не определена.

2) Находим предел слева от точки :

Итак, при происходит - график уходит вверх (рис. 5).

Находим предел справа от точки

Итак, при происходит - график приближается сверху к точке (рис.6).

3)

х

у

4) Результаты исследований дают такой чертеж:

 

 

Рис. 6

Образец выполнения задания № 3

Задача.Найти производную функций.

1) 2) 3)

4) 5)

Решение:

1)

2)

3)

4) Здесь основание степени и показатель – переменные величины. Перейдем к основанию е: Тогда

5) Данное уравнение задает в неявном виде функцию у. Найдем ,выполнив цепочку преобразований.

в левой части соберем члены, содержащие

 

Образец выполнения заданий № 4

Задача.Найти и

 

1) 2)

Решение.

1)

или

2) Здесь функции я задана параметрическими уравнениями.

Образец выполнения заданий № 5

Задача.На какой высоте надо повесить фонарь над центром круговой площади радиуса , чтобы площадка была максимально освещена у ее границы?

Решение.Из курса физики известно, что освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света и прямо пропорциональна косинусу угла падения (угла, образованного нормально к поверхности с направлением светового потока), т.е.

, где k зависит от силы источника света, помещенного в точке А (рис. 7). Из треугольника ОАВ имеем и . Приняв h за независимую переменную, получим .

Исследуем функцию на экстремум с помощью первой производной:

; при .

Так как в промежутке и в промежутке , то при функция имеет максимум, т.е. при значении освещенность в точке В является наибольшей.

Рис. 7

 

Задания к контрольной работе №2

Задание № 1

Найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя).

1. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

 

2. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

 

3. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

4. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

 

5. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

 

6. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

7. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

 

8. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

 

9. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

 

10. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

 

11. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

12. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

 

13. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

 

14. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

 

15. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

16. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

 

17. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

 

18. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

19. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

 

20. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

 

21. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

 

22. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

 

23. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

24. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

25. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

26. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

 

27. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

 

28. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

29. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

 

30. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

Задание № 2

В задачах 1-15 указываются функция и два значения аргумента . Требуется: 1) найти предел функции при приближении к каждому из заданных значений слева и справа; 2) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений ; 3) сделать схематический чертеж.

В задачах 16-30 функция задается различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Требуется: 1) найти точки разрыва функции, если они существуют; 2) найти скачок функции в каждой точке разрыва; 3) сделать схематический чертеж.

1. ; ,

2. ; ,

3. ; ,

4. ; ,

5. ; ,

6. ; ,

7. ; ,

8. ; ,

9. ; ,

10. ; ,

11. ; ,

12. ; ,

13. ; ,

14. ; ,

15. ; , .

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Задание № 3

 

Найти производные данных функций.

 

1. а)

б)

в)

г)

д) .

 

2. а)

б)

в)

г)

д) .

 

3. а)

б)

в)

г)

д) .

 

4. а)

б)

в)

г)

д) .

 

5. а)

б)

в)

г)

д) .

 

 

6. а)

б)

в)

г) ;

д)

 

7. а)

б)

в)

г)

д) .

 

 

8. а)

б)

в)

г)

д)

 

9. а)

б)

в)

г)

д)

 

10. а)

б)

в)

г)

д)

 

11. а)

б)

в)

г)

д)

 

 

12. а)

б)

в)

г)

д)

 

 

13. а)

б)

в)

г)

д)

 

 

14. а)

б)

в)

г)

д)

 

15. а)

б)

в)

г)

д)

 

 

16. а)

б)

в)

г)

д)

 

17. а)

б)

в)

г)

д)

 

 

18. а)

б)

в)

г)

д)

 

19. а)

б)

в)

г)

д) .

 

20. а)

б)

в)

г)

д)

 

21. а)

б)

в)

г)

д) .

 

22. а)

б)

в)

г)

д)

23. а)

б)

в)

г)

д)

 

 

24. а)

б)

в)

г)

д)

 

 

25. а)

б)

в)

г) д)

 

 

26. а)

б)

в)

г)

д)

27. а)

б)

в)

г)

д)

 

28. а)

б)

в)

г)

д)

 

29. а)

б)

в)

г) ;

д) .

 

30. а) ;

б) ;

в)

г) ;

д) .

Задание № 4

Найти и .

 

1. а)

б) , .

 

2. а)

б)

 

3. а)

б) , .

 

4. а)

б) .

 

 

5. а)

б) , .

6. а)

б) .

7. а)

б)

 

8. а)

б)

 

9. а)

б)

 

10. а)

б) .

 

11. а)

б) , .

 

12. а)

б)

 

13. а)

б) , .

 

14. а)

б)

 

15. а)

б) , .

 

16. а)

б)

 

17. а)

б) , .

 

18. а)

б)

 

19. а)

б) , .

 

20. а)

б)

 

21. а)

б) , .

 

22. а)

б)

 

23. а)

б) , .

 

24. а)

б)

 

25. а)

б) , .

 

26. а)

б)

 

27. а)

б)