Суммирование погрешностей

Идея:

Есть устройство

𝛄3

𝛄2

𝛄1

𝛄n

Пn

П3

П2

П1

X? X₁ X₂ X₃ X_n-1 X_n

𝛄n

𝛄3

𝛄2

𝛄1

𝛄Σ

Вход … Выход

 

Вместо приведённой погрешности может, с равным успехом, быть и абсолютная и относительная.

Варианты развития событий:

1) Известны 𝛄_i и необходимо найти суммарную приведённую погрешность. Решается однозначно теоретическая задача.

2) Известна суммарная приведённая погрешность и необходимо найти погрешность каждого из блоков. Эта задача является реальной, такой, которая решается в современной технике. Однозначного решения этой проблемы нет.

Для решения задачи суммирования погрешностей вероятностным подходом, необходимо знать не только 𝛄_i , но и закон распределения 𝛄_i. Тогда, строится график закона распределения P(𝛄_Σ). Следует помнить, что при решении может произойти трансформация закона распределения.

Рассмотрим случай под номером один: тот, когда известны погрешности каждого блока устройства и необходимо найти суммарную погрешность.

Существуют два подхода для решения этой задачи:

1) а) Арифметическое сложение

б) Геометрическое сложение

в) Сложение с коэффициентом

В случае, если мы не знаем закон распределения, но хотим включить Р_Д , тогда можем воспользоваться особенностью: Новицким и Назаровым найдены два значения доверительной погрешности и коэффициента k,

при которых можно даже не задумываться о законе распределения – все они (законы) пересекаются в этих точках и, следовательно, любая гипотеза будет верна.

2) Вероятностный подход при суммировании погрешностей

Пример:

П1

𝛄2

𝛄1

П2

Вход Выход

Вопрос: 𝛄_Σ = ?

X Y

Для использования этого метода, как отмечалось ранее, необходимы законы распределения и тогда .

Необходимо и

можно построить.

 

 

В случае, когда имеем несколько погрешностей (n>2), это уже многомерные измерения и это уже сложнее. Но даже при двух погрешностях возникают проблемы: даже при наличии двух погрешностей могут возникать трансформации суммарного закона распределения.

Пример:

При суммировании двух равномерных законов распределения, может получиться трапециальный закон на выходе. Вот так:

Равномерное распределение

Равномерное распределение

 

а a ≠ b b

Трапециальное распределение

А на выходе:

 

Высота и острота трапеции

зависит от соотношения

a и b.

А зачем, собственно, вообще искать ? Известно, при определённом Р_Д = …

Коэффициент

Однако, на практике при суммировании погрешностей пользуются только . Выясняется, что от закона распределения не зависит и для двух элементов:

Для нахождения необходимо знать: . Коэффициент корреляции принимает любое значение между нулём и единицей (включительно, конечно).

При суммировании принимается следующее:

1) Либо r = 1 и тогда «сигма-один» и «сигма-два» жестко связаны между собой и тогда используем правило арифметической суммы:

2) Либо r = 0 и тогда «сигма-один» и «сигма-два» не связаны между собой и тогда используем правило геометрической суммы:

Это, конечно, хорошо, но главный вопрос: как понять, коэффициент корреляции равен нулю или равен единице.

Пример:

Предварительный и окончательный усилители, подключённые к источнику питания.

ПУ

ОУ

U₁ U₂ В этом случае коэффициент

ИП

σ_Σ корреляции r будет равен

σ₁ U_ПИТ σ₂ единице, ибо у нас есть общая

причина нестабильности системы

и это источник питания ИП.

Примечание:

При суммировании погрешностей обычно суммируют отдельно аддитивные погрешности, отдельно – мультипликативные, отдельно – случайные, ну, т.е. все погрешности суммируем по отдельности.