Обобщение понятия угла
Основы тригонометрии.
Ð AOB = a, 0 ° £ a £ 180 °.
Рассмотрим в окружность с центром в точке О радиуса r - . На выберем точку М. ОА- начальный радиус . - радиус-вектор точки М, принадлежащей . Ð (ОА, ) = Ð AOМ = a. Описание: Углом поворота AOМ называется угол, образованный вращением вокруг начала координат начального радиуса ОА до положения ОМ.
a1= Ð AOМ1 = 45° a2 = Ð AOМ2 = - 45°
Если начальный радиус повернуть против часовой стрелки на 180°, а потом еще на 30°, то угол поворота будет равен 210°. И начальный радиус сделает полный оборот, то угол поворота будет равен 360°, если он сделает полтора оборота в том же направлении, то угол поворота будет равен 540° и так далее.
Вывод: Угол поворота может принимать любые значения, большие 360° и меньшие - 360° .
Упражнение: Постройте углы 405°, - 210°, 840°, - 1320°, 2385°. Рассмотрим в окружность . Построим угол a = Ð AO М = 150°. Вопрос:Какие углы будут соответствовать этому же радиус-вектору? Ответ: Если a= Ð AOМ = 150°, то углы 150° + 360° n, где n Î Z, соответствуют этому же радиус-вектору. При n= 0 , 1 , - 1 , 2 , - 2 получаем 150°, 510°, - 210°, 870°, -570°.
Вывод: Радиус-вектору точки М, принадлежащей , соответствует бесконечное множество углов, отличающихся друг от друга на целое число полных оборотов: b = a + 360 °× n , n Î Z. Замечание: Пусть при повороте на угол a начальный радиус ОА переходит в положение . В зависимости от того, в какой координатной четверти окажется радиус-вектор , угол a называют углом этой координатной четверти (говорят, что угол a принадлежиткоординатной четверти). Если a Î ( 0°; 90°), то a+ 360° n, где n Î Z, - углы 1-ой координатной четверти. Если a Î ( 90°; 180°), то a+ 360° n, где n Î Z, - углы 2-ой координатной четверти. Если a Î (180°; 270°), то a+ 360° n, где n Î Z, - углы 3-ей координатной четверти. Если a Î (270°; 360°), то a + 360° n, где n Î Z, - углы 4-ой координатной четверти. Углы 0º, ± 90º, ± 180º, ± 270º, ± 360º, … не принадлежат никакой координатной четверти. Пример: Какой координатной четверти принадлежит угол- 2763°? Решение: Разделив 2763° на 360°, выясним, сколько полных оборотов нужно сделать при построении данного угла. - 2763° = - 360° · 7 - 243°. Так как угол - 243° принадлежит 2-ой к. ч., значит, угол - 2763° принадлежит 2-ой к. ч. Ответ: - 2763° Î 2-ой к. ч. Упражнение: Какой координатной четверти принадлежат углы: 598°, 3672°, - 1743°?
2. Градусная и радианная меры угла
Рассмотрим в окр. (О, ОА1 = r1),окр. (О, ОА2 = r2). a = Ð A1 O В1= Ð A 2 O В2 Углу a соответствует дуга l1 = A1 М1 В1 , дуга l2 = A2 М2 В2 . Для данного центрального угла a отношение длины дуги к длине радиуса есть величина постоянная. ; Определение: Число а, равное отношению длины дуги l, соответствующей некоторому центральному углу a, к длине радиуса r, называется радианной мерой этого угла. Вывод: Если радиус окружности равен 1, то радианная мера центрального угла – это длина дуги, соответствующей этому центральному углу.
Определение: 1 радиан – единица радианной меры угла – это центральный угол, которому соответствует дуга, равная радиусу.
Всякий угол, заданный в градусной мере, можно перевести в радианную меру, и, наоборот, угол, заданный в радианной мере, можно перевести в градусную меру. Углу 360° соответствует дуга, равная длине окружности (lокр. = 2p r ). ; 360° = 2p ;180° = p . a – градусная мера данного угла; а – радианная мера данного угла. 3.
Рассмотрим в окружность с центром в точке О радиуса r =1 - . На выберем точку М (x; y). ОА- начальный радиус . - радиус-вектор точки М (x; y), принадлежащей . Ð (ОА, ОМ ) = Ð AO М = a. Определение: Синусом угла a называется ордината радиус-вектора точки М, принадлежащей .
Определение: Косинусом угла a называется абсцисса радиус-вектора точки М, принадлежащей .
Определение: Тангенсом угла a называется отношение ординаты радиус-вектора точки М, принадлежащей , к его абсциссе.
Определение: Котангенсом угла a называется отношение абсциссы радиус-вектора точки М, принадлежащей ,к его ординате.
С изменением угла a координаты радиус-вектора точки меняются, а его модуль остается без изменения. , , , – переменные величины, зависящие от a. Каждому допустимому значению a соответствует единственное значение , , , . Поэтому синус, косинус, тангенс и котангенс являются функциями угла a. Их называюттригонометрическими функциями. Функции и определены при любом значении , так как для любого угла поворота можно найти значения координат y и x. Вывод: ; . Функция имеет смысл при любом , кроме углов поворота ± , ± , ± , …, так как для этих углов не имеет смысла дробь ( x = 0 ) . Функция имеет смысл при любом , кроме углов поворота 0, ± p , ± 2 p, …, так как для этих углов не имеет смысла дробь ( y = 0 ) . Вывод: 1) 2) Замечание: 1) Углы , называют углами вертикального диаметра (Рис.1).
Рис.1. Рис.2. 4. Знаки тригонометрических функций Так как , то знак зависит от знака ординаты y. В 1-ой и 2-ой координатных четвертях y > 0, в 3-ей и 4-ой координатных четвертях y < 0.
Вывод: , если a является углом 1-ой или 2-ой координатных четвертей, , если a является углом 3-ей или 4-ой координатных четвертей.
Так как , то знак зависит от знака абсциссы x. В 1-ой и 4-ой координатных четвертях x > 0, во 2-ой и 3-ей координатных четвертях x < 0. Вывод: , если a является углом 1-ой или 4-ой координатных четвертей, , если a является углом 2-ой или 3-ей координатных четвертей. Так как и , то знаки и зависят от знаков x и y. В 1-ой и 3-ей к. ч. x и y имеют одинаковые знаки, а во 2-ой и 4-ой к. ч. x и y имеют разные знаки. Вывод: , , если a является углом 1-ой или 3-ей к. ч., , , если a является углом 2-ой или 4-ой к. ч.
Пример: Определить знак выражения: 1) sin 973º; 2) . Решение: 1) 973º = 360º·2 + 253º; 253ºÎ (180°; 270°), значит, 973ºÎ 3-ей к. ч., следовательно, sin 973º < 0 . 2) Î 4-ой к. ч., значит, Î 4-ой к. ч., следовательно, . Ответ: sin 973º < 0; . Упражнения: №1. Среди углов 770º, 480º, – 50º, 1560º, – 240º, – 310º найдите такие углы, при которых начальный радиус займет то же положение, что и при повороте на угол: а) a = 50º; б) a = 120º. №2. Определите знак выражения: cos 567º; sin 5791º; tg 269º; ctg (– 705º); cos 1259º; ctg . №3. Какой знак имеют , , , , если: . №4. Определите знак выражения: а) sin 190º · tg 200º ; б) cos 320º · ctg 79º ; в) cos 271º · sin 453º · tg 514º · ctg 378º, г) – sin 50º ·(– cos (– 91º)) · tg 170º· ctg (– 640º) · sin 530º. №5. Углом какой координатной четверти является угол a, если: а) sin a > 0 и cos a > 0; г) sin a > 0 и tg a > 0; б) sin a < 0 и cos a > 0; д) tg a < 0 и cos a > 0; в) sin a < 0 и cos a < 0; е) ctg a > 0 и sin a < 0. 5. Значения тригонометрических функций основных углов.
Воспользуемся определениями тригонометрических функций для нахождения значений тригонометрических функций основных углов. Основные углы:
Радиус-вектор ,образующий углы 0º и 360º, имеет координаты (1; 0 ).
sin 0º = sin 360º = y = 0; cos 0º = cos 360º = x = 1; tg 0º = tg 360º = = 0; ctg 0º = ctg 360º = – не существует. Радиус-вектор ,образующий угол 90º, имеет координаты (0; 1 ). sin 90º = y = 1; cos 90º = x = 0; tg 90º = – не существует; ctg 90º = = 0 . Радиус-вектор ,образующий угол 180º, имеет координаты ( – 1; 0 ). sin 180º = y = 0; cos 180º = x = –1; tg 180º = = 0; ctg 180º = – не существует. Радиус-вектор ,образующий угол 270º, имеет координаты (0; – 1 ). sin 270º = y = –1; cos 270º = x = 0;
Рис.1. a = 30º. Рис.2. a = 60º. Рис.3. a = 45º.
Рис.1. Радиус-вектор , образующий угол a = 30º, имеет координаты . sin 30º = y = ; cos 30º = x = ; tg 30º = = ; ctg 30º = = . Рис.2. Радиус-вектор , образующий угол a = 60º, имеет координаты sin 60º = y = ; cos 60º = x = ; tg 60º = = ; ctg 60º = = . Рис.3. Радиус-вектор , соответствующий углу a = 45º, имеет координаты sin 45º = y = ; cos 45º = x = ; tg 45º = = 1; ctg 45º = = 1. Пример:
№1. Вычислить значения всех тригонометрических функций углов: a)
b) a2 = 225º ; c) a3 = 330º . Решение: a) Радиус-вектор , соответствующий углу a = 60º, имеет координаты Радиус-вектор , соответствующий углу a =120º, имеет координаты sin 120º = y = ; cos 120º = x = ; tg 120º = = ; ctg 120º = = . b)Радиус-вектор , соответствующий углу a = 45º, имеет координаты . Радиус-вектор , соответствующий углу a =225º, имеет координаты . sin 225º = y = ; cos 225º = x = ; tg 225º = = 1; ctg 225º = = 1. c) Радиус-вектор , соответствующий углу a = 30º, имеет координаты Радиус-вектор , соответствующий углу a=330º, имеет координаты . sin 330º = y = ; cos 330º = x = ; tg 330º = = ; ctg 330º = = . №2. Для каких значений угла верно равенство: 1) cos b = 0; 2) . Решение:
a = – + 2p k , k Î Z
a = - p + 2p k , k Î Z a = p + 2p k , k Î Z b = + p k , k Î Z Ответ: 1) b = + p k , k Î Z ; 2) a = p + 2p k , k Î Z . №3. Найти область допустимых значений аргумента a : . Решение: 1) Исключаем значения a , при которых не существует ctg a: a ¹ p k , k Î Z. 2) Исключаем значения a, при которых знаменатель дроби sin a +1 обращается в нуль: sin a +1 ¹ 0; sin a ¹– 1;a ¹ + 2p k , k Î Z Ответ:a ¹ p k , k Î Z ; a ¹ + 2p k , k Î Z . Упражнения: №1. Вычислить значения всех тригонометрических функций углов: 135º ; 150º ; 210º ; 240º ; 300º ; 315º . №2. Найти значение выражения: а) 2 sin p –2 cos +3 tg – ctg ; б) cos 2 – cos 2 ; в) 3 sin 2 –4 tg 2 – 3 cos 2 +3 ctg 2 ; г) tg × cos 2 × sin ; д) ; е) . №3. Для каких значений углаверно равенство: а) sin a = 1; б) cos b = – 1; в) tg a = 0; г) ctg b =1. 6. Изменение тригонометрических функций с увеличением угла. Рассмотрим в окружность с центром в точке О радиуса r= 1. ОА- начальный радиус окр. (О, r =1). - радиус-вектор точки М (x; y), принадлежащей окр. (О, r =1). Ð (ОА , ОМ ) = a.
Проследим за изменением каждой из четырех тригонометрических функций в отдельности при изменении угла a от 0º до 360º.
sin a ведет себя как ординатаy радиус-вектора точки М, принадлежащей окр. (О, r =1). (Рис. 1.) Если a Î ( 0°; 90°), то увеличивается от 0 до 1. Если a Î ( 90°; 180°), то уменьшается от 1 до 0. Если a Î (180°; 270°), то уменьшается от 0 до – 1. Если a Î (270°; 360°), то увеличивается от – 1 до 0. Вывод: 1. – не монотонная функция. 2. , то есть – множество значений 3. – ограниченная функция, так как .
Рис. 1. Рис. 2.
ведет себя как абсцисса x радиус-вектора точки М, принадлежащей окр. (О, r =1). (Рис. 2.) Если a Î ( 0°; 90°), то cos a уменьшается от 1 до 0. Если a Î ( 90°; 180°), то cos a уменьшается от 0 до – 1. Если a Î (180°; 270°), то cos a увеличивается от – 1 до 0. Если a Î (270°; 360°), то cos a увеличивается от 0 до 1.
Вывод: 1. – не монотонная функция. 2. , то есть – множество значений . 3. – ограниченная функция, так как
Через конец начального радиуса ОА точку А проведем ось АТ, параллельную оси Оу. Радиус-вектор , соответствующий углу a , продолжим до пересечения с осью АТ в точке N. Алгебраическая величина отрезка АN равна tg a , где a – угол любой из четырех координатных четвертей (Рис. 1).
Рис.1. Рис.2.
Если a Î ( 0°; 90°), то tg a = АN возрастает от 0 до <
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (597)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |