Графический способ решения уравнений
Уравнение можно рассматривать как задачу об отыскании таких значений переменной х , при которых значения двух данных функций равны. Рассмотрим уравнение вида . Графический способ решения такого вида уравнений заключается в отыскании приближенных значений абсцисс точек пересечения графиков функций и в одной и той же системе координат.
Решение: у = х2
Ответ: х1 » - 0,7; х2 = 2. Упражнения: Решите графически уравнения:
3. Показательные неравенства. Определение: Показательными неравенствами называются неравенства, содержащие переменную в показателе степени. Решение простейших показательных неравенств основано на известном свойстве функции : показательная функция возрастает при и убывает при .
Пример: Решить неравенства: 1. . Решение: . Ответ: . 2. . Решение: ; а = 1> 0 ветви параболы направлены вверх; х 2 + 3х = 0; ;
Ответ: 3. . Решение: ; ; ; ; ; ; ; . Ответ: Упражнения: Решить неравенства:
4. Понятие логарифма. Основное логарифмическое тождество.
Необходимость возникновения нового понятия появилась из практической потребности при решении конкретных задач.
а с= b 2 с = 2 Þ с = 1; 2 с = 3 Þ с = 1,…; 2 с = 4 Þ с = 2; 2 с = 7 Þ с = 2,…; 2 с = 8 Þ с = 3; Определение: Логарифмомчисла b по основанию а называется показатель степени с, в которую надо возвести данное основание а, чтобы получитьчисло b.
Вывод: . - основное логарифмическое тождество. Замечание:
Пример: 1. Чему равен ? Решение: . Ответ: . 2. При каком основании ? Решение: . Ответ: . 3. Найти число, логарифм которого при основании 64 равен . Решение: . Ответ: . Упражнения: Вычислить: ;
5. Свойства логарифмов. Логарифмирование и потенцирование.
1) , так как . 2) , так как . 3) Логарифм произведения двух или нескольких положительных чисел равен сумме логарифмов сомножителей: . 4) Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя: . 5) Логарифм степени положительного числа равен показателю степени, умноженному на логарифм основания: . 6) Логарифм корня из положительного числа равен логарифму подкоренного выражения, деленному на показатель корня: . Пример: Вычислить:
;
Определение: Логарифмированием данного выражения называется представление логарифма этого выражения через логарифмы входящих в него элементов. Замечание: Сумма и разность выражений не логарифмируются. Пример: 1. Прологарифмировать данное выражение: 1) . Решение: . 2) . Решение: 3) . Решение: . . 2. Вычислить: . Решение: . Ответ: . Определение: Потенцированием называется нахождение выражения по его логарифму. Потенцирование – это действие,обратное логарифмированию. Пример: Пропотенцировать : . Решение: ; . Ответ: . Упражнения: 1. Вычислить:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .
1) ; 2) ; 3) .
6. Логарифмическая функция, ее свойства и графики. Определение: Функция, обратная показательной функции, называется логарифмической. - показательная функция; Û ; - логарифмическая функция.
Вывод: График логарифмической функции расположен в первой и четвертой координатных четвертях.
1) при 0 < а < 1 – убывающая функция; 2) при а > 1 а = 2 – возрастающая функция.
- логарифмическая функция;
- показательная функция.
1) при 0 < а < 1 ; . 2) при а > 1 ; .
Замечание: Для построения графика логарифмической функции можно воспользоваться свойством графиков взаимно обратных функций: графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов, то есть относительно прямой у = х.
(0 < а < 1)
(а > 1)
Упражнения:
1) ; 2) ; 3) ;
7. Логарифмические уравнения. Определение: Уравнения, содержащие переменную только под знаком логарифма или в основании логарифма, называются логарифмическими. Замечание: Простейшими логарифмическими уравнениями являются уравнения вида и. 1) Логарифмические уравнения, решаемые с помощью определения логарифма.
Пример: Решить уравнения: 1. . Решение: Û Û Û . Ответ: . 2. . Решение: Û Û Û . Ответ: х = - 16. 3. . Решение: Û Û Û Û Û
Ответ: х = 5. 4. . Решение: Û Û Û Û Û Ответ: . Упражнения: Решить уравнения:
2) Логарифмические уравнения, решаемые потенцированием.
Вывод: При решении логарифмического уравнения находят его область определения и проверяют корни на принадлежность области определения данного уравнения или делают проверку всех найденных корней подстановкой в исходное уравнение.
Пример: Решить уравнения: 1. . Решение: Найдем область определения уравнения, используя определение логарифма:
Û Û . Û Þ Þ Þ Û ; ; ; ; х1 =11; х2 = 19. Проверка: Все корни принадлежат области определения уравнения. ; . Ответ: х1 =11; х2 = 19. 2. . Решение: Найдем область определения уравнения, используя определение логарифма:
Û Û . Û Û Û Þ Û Û Û Û . Проверка: . Ответ: х = 8. 3. . Решение: Найдем область определения уравнения, используя определение логарифма: Û Û . Û Û Û Û Þ Þ Û Û Û Û Û Û ; ; ; х1 = 6; х2 = 14. Û Проверка: Все корни принадлежат области определения уравнения. ; ; Ответ: х1 = 6; х2 = 14. 4. . Решение: Û Þ Û Û ; ; ; ; х1 = - 3; х2 = 5. Проверка: х1 = - 3; ; х1 = - 3 не является корнем данного уравнения, так как не существует. х2 = 5; . Ответ: х =5. Упражнения: Решить уравнения: 1. ; 7. ; 2. ; 8. 3. ; 9. 4. ; 10. 5. ; 11. 6. ; 12.
3) Логарифмические уравнения степени выше первой относительно логарифма. Замечание: При решении уравнений этого типа нужно обратить внимание на преобразования вида:
1. ; 2. . Пример: Решить уравнения:
Решение: Û ; Введем новую переменную : ; ; ; ; ; ; ; х1 = 20. ; ; х2 = 500. Проверка: х1 = 20;
х2 = 500;
Ответ: х1 = 20; х2 = 500 .
Решение: Введем новую переменную: у = lgx . Û Û Û Û Û Û Û Û Û ; ; ; ; у1 = 2; у2 = 3; Ответ: х1 = 100; х2 = 1000. Упражнения: Решить уравнения:
4) Уравнения, содержащие выражения вида При решении уравнений, содержащих переменную и в основании степени, и в показателе степени, используется метод логарифмирования. Если при этом в показателе степени содержится логарифм, то обе части уравнения надо логарифмировать по основанию этого логарифма. При логарифмировании уравнения возможна потеря корней. Однако, если логарифмировать уравнение , обе части которого положительны на всей области определения уравнения, то потери корней не произойдет. В этом случае говорят, что уравнения и равносильны на всей области определения данного уравнения.
Пример: Решить уравнения: 1. . Решение: Найдем область определения уравнения, используя определение логарифма:
. В области определения уравнения выражения, содержащиеся в обеих его частях, принимают только положительные значения. Следовательно, можно прологарифмировать обе части уравнения по основанию 10. Таким образом, на области определения данного уравнения следующие уравнения равносильны: Û Û Û Û Û х1 = 0,01 или х2 =100. Проверка: Все корни принадлежат области определения уравнения. ; Ответ: х1 = 0,01; х2 =100. 2. . Решение: Найдем область определения уравнения, используя определение логарифма:
|
Обсуждение в статье: Графический способ решения уравнений |
Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓ |
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...
Система поиска информации
Мобильная версия сайта
Удобная навигация
Нет шокирующей рекламы