Уравнения и неравенства с модулем
Свойства модуля: 1) Противоположные числа – числа , имеющие одинаковый модуль (говорят, что числа равны по модулю). Геометрический смысл: – расстояние от точки с координатой до точки с координатой 0. 2) (модули противоположных чисел равны). Аналогично и для выражений, например . 3) . Помните, модуль числа – число положительное или 0! Так, например, , .
Подходы к решению уравнений и неравенств: 1) 1 или 2 модуля: раскрытие по определению. Пример 1. . Решение: или . . Ответ: . Пример 2. . Решение: или . . . или . Ответ: . Пример 3. . Решение: или . . или . или . . . Ответ: . Пример 4. . Решение: или . . Ответ: . Пример 5. . Решение: Т.к. слева стоит модуль, то (*). или . . . Второй корень является посторонним, т.к. не удовлетворяет (*). Ответ: . Пример 6. . Решение: или . . Ответ: . Пример 7. . Решение: . . Поскольку каждая часть неравенства положительна, можем извлечь корень: . , . Объединяя полученные решения, получим ответ. Ответ: . Пример 8. . Решение: . . . . Ответ: . Пример 9. . Решение: ОДЗ: (стоит под корнем в знаменателе). Используя свойство квадратного корня, исходное неравенство примет вид: . . . . Ответ: . Пример 10. . Решение: . . Последние неравенства решаем по методу интервалов:
Ответ: .
2) Несколько модулей: интервальное раскрытие. На ЦТ такого задания быть не должно,пример рассматривается в ознакомительных целях. Пример 11. 3|x – 1| – 2|x – 2| + |x + 3| = 2. Решение: Находим нули подмодульных выражений: . Т.о., имеется 4 интервала, на каждом из которых подмодульные выражения или >0 (‘+’) или <0 (‘–‘): (знаки расставлены в порядке следования модулей) Деление на интервалы (включение/невключение в интервал нулей) условное: 1) : . Данное решение не принадлежит рассматриваемому интервалу, но не волнуйтесь: оно будет решением следующего интервала. 2) : . 3) : (не принадлежит рассматриваемому интервалу). 4) : (не принадлежит рассматриваемому интервалу). О т в е т: . 3) Уравнения и неравенства с одинаковыми компонентами. A. Метод замены переменных. Пример 12. . Решение: Пусть , тогда . или . Ответ: . Пример 13. . Решение: Пусть , тогда . или . или . . Ответ: .
Б. Используются свойства модуля. Пример 14. Решите уравнение . Решение: Перепишем уравнение в виде: . Получается, что модуль выражения равен этому выражению, взятому с противоположным знаком. Такое возможно только в том случае, если данное выражение отрицательно или равно нулю: . Ответ: . Пример 15. Решите неравенство . Решение: Модуль A не может быть меньше A, возможно только равенство, из которого делаем вывод: . Ответ: . Пример 16. Решите неравенство . Решение: Перепишем уравнение в виде . или . . Ответ: . В. Используются свойства других функций. Пример 17. Решите уравнение . Решение: Возможны следующие случаи: 1) х2 – х = 2 (степени равны), откуда х1 = 2, х2 = –1. 2) 0а = 0в, а > 0; в > 0, т.е. |х – 3| = 0, х3 = 3. 3) |х – 3| = 1, откуда х4 = 4; х5 = 2. Ответ:–1; 2; 3; 4.
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (327)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |