Эллипс , гипербола , парабола

Дополнительные задачи

1. Дан треугольник АВС и точка Р. ВРСА₁, СРАВ₁, АРВС₁ – параллелограммы. Доказать, что прямые АА₁,ВВ₁,СС₁ пересекаются в одной точке. (3б)

2. Через точки М(1,2) им N(3,-1) провести прямые, расстояние между которыми равно 3 (2б)

3. Точка М принадлежит основанию ВС равнобедренного треугольника АВС. Написать уравнение прямой ВС, если даны уравнения прямых АВ 3х-4у-3=0 и АС: 4х-3у+7=0 (2б)

4. Даны вершины А(-3,2), В(2/3, 22/3), С (-5/3, 25/3) треугольника АВС. Найти координаты вершин M,N,P квадрата АМNР, если ВÎ[MN], CÎ[NP] (3б)

5. Точки А₀, В₀, С₀ делят стороны треугольника АВС в отношениях l₁=(АС,В₀), l₂=(ВА,С₀), l₃=(СВ,А₀) (l₁×l₁×l₁¹-1). Вычислить отношение площади треугольника А₀В₀С₀ к площади треугольника АВС(3б)

6. Диагонали АС и ВD выпуклого четырехугольника АВСD пересекаются в точке О. Доказать, что противоположные стороны АВ и CD этого четырехугольника параллельны, если S²_BOC=S_AOB ×S_DOC(4б)

7. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника АВСD, пересекаются в точке М. Доказать, что сумма площадей треугольников ВМС и DМА равна сумме площадей треугольников АМВ и СМD. (3б)

8. Доказать, что сферы х²+у²+z²-2x+4y-20=0 и х²+у²+z²+2x-2z-14=0 пересекаются и найти уравнение плоскости, содержащей их линию пересечения(3б)

9. В пдск задана плоскость х-у-z-6=0 и точки М1(1,-1,-1) и М2(-1,2,0). Луч света проходит через точку М1 и, отразившись от плоскости, проходит через точку М2. Найти уравнения прямых, содержащих палающий и отраженный лучи. (3б)

10. Прямая l пересекает плоскости граней тетраэдра АВСD в точках А₁=lÇ(ВСD), В₁=lÇ(СDА), С₁=lÇ(DАВ), D₁=lÇ(АВC). Доказать, что середины отрезков АА₁, ВВ₁, СС₁, DD₁ принадлежат одной плоскости. (3б)

11. Через линию пересечения плоскостей х+5у+z =0 и х-z+4 =0провести плоскость, образующую угол π/4 с плоскостью х-4у-8z+12 =0 (3б)

12. Даны две плоскости: 2х+3у+4z+6 =0 и b: 2х-у+z-6 =0. Найти такую плоскость g, чтобы плоскость b делила пополам двугранные углы между плоскостями a и g.(3б)

13. К непересекающимся диагоналям граней куба, имеющим общее ребро, провести общий перпендикуляр. В каком отношении точки пересечения диагоналей с общим перпендикуляром делят диагонали? (3б)

14. Найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы прямая А₁х+В₁у+С₁z+D₁=0? А₂х+В₂у+С₂z+D₂=0 1) пересекала плоскость Оху;2) была ей параллельна;3) лежала в этой плоскости. (4б)

15. Найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы прямая А₁х+В₁у+С₁z+D₁=0, А₂х+В₂у+С₂z+D₂=0 1) скрещивалась с осью Оz; 2) пересекала ось Оz;3) была ей параллельна;4) совпадала с ней (4б)

16. Даны две плоскости и С помощью рангов r и R матриц и выразить условия, необходимые и достаточные для того, чтобы плоскости 1) пересекались,2) были параллельны;3) совпадали(5б)

17. Даны плоскость и прямая своими параметрическими уравнениями и С помощью рангов r и R матриц и выразить условия, необходимые и достаточные для того, чтобы прямая 1) пересекала плоскость,2) были параллельна плоскости;3) лежала в плоскости(5б)

18. Дана прямая А₁х+В₁у+С₁z+D₁=0, А₂х+В₂у+С₂z+D₂=0 и плоскость А₃х+В₃у+С₃z+D₃=0. С помощью рангов r и R матриц и выразить условия, необходимые и достаточные для того, чтобы прямая 1) пересекала плоскость,2) были параллельна плоскости;3) лежала в плоскости(5б)

Эллипс , гипербола , парабола

1. Доказать, что если для точки М(х0, у0) верно неравенство , то любая прямая, проходящая через М, пересекает эллипс в двух точках. (3б)
2. В пдск задана прямая х+5у+4=0 и точка F(-1,3), которые являются директрисой и соответствующим фокусом эллипса. Написать уравнение второй директрисы и найти второй фокус, если большая полуось равна 5 (2б)
3. На гиперболе найдите, фокальные радиусы которой перпендикулярны. (2б)
4. Доказать, что директриса гиперболы проходит через ортогональную проекцию соответствующего фокуса на асимптоту. (2б)
5. Доказать, что ортоцентр треугольника, вписанного в равностороннюю гиперболу, принадлежит той же гиперболе. (4б)
6. Точка М₀ гиперболы лежит с ее фокусом F по одну сторону от мнимой оси. Через М₀ проведена прямая, параллельная асимптоте и пересекающая директрису, соответствующую фокусу F в точке D. Доказать, что FM₀=DM₀ (2б)
7. Написать уравнение параболы в пдск, если даны координаты фокуса F(4,2) и уравнение директрисы х+3у-6=0. Найти параметры параболы (2б)
8. Даны перпендикулярные отрезки ОА и ОВ., каждый из которых разделен соответственно точками А₁, А₂, … и точками В₁, В₂, … на n равных частей. Прямые l_i проходят через точки А_i параллельно прямой АВ. Доказать, что точки Мi= [ОВ_i)Ç l_i принадлежат одной параболе. (4б)