ТЕМА№5: «Численные методы решения ОДУ»

Контрольная работа 3

ТЕМА№4:“Численное дифференцирование и интегрирование”

ТЕМА№5: «Численные методы решения ОДУ»

Практические задания –выполненные задания по темам 4 и 5.

Теоретические вопросы

 

1)

a) Укажите разностные отношения для вычисления первой производной и оценки погрешности аппроксимации для них. Докажите эту оценку для правосторонней производной.

b) Сформулируйте задачу Коши для системы из двух дифференциальных уравнений первого порядка.

2)

a) Опишите способ численного дифференцирования таблично заданной функции, основанный на интерполяции алгебраическими многочленами.

b) Сформулируйте задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка.Выведите расчетную формулу метода Эйлера для ее решения.

3)

a) Можно ли утверждать, что формула численного дифференцирования, полученная с помощью интерполяции исходной функции, будет иметь небольшую погрешность, если погрешность интерполяции также невелика. Поясните ответ.

b) Напишите расчетные формулы метода Эйлера для решения задачи Коши для системы из двух дифференциальных уравнений первого порядка.

4)

a) Дайте определение квадратурной формулы и ее алгебраической степени точности.

Степень 2n-1.

b) Укажите погрешность формулы Эйлера на шаге (с выводом!)

5)

a) Выведите число абсолютной обусловленностизадачи вычисления определенного интеграла и квадратурных сумм.

b) Укажите общую схему методов типа “прогноз-коррекция” для решения задачи Коши для ОДУ.

6)

a) Укажите, для каких квадратурных формул число абсолютной обусловленности задачи вычисления определенного интеграла и квадратурной суммы совпадают. Поясните ответ.

b) Укажите причины, по которым для решения задачи Коши для ОДУ многошаговые методы предпочтительнее одношаговых методов той же точности.

7)

a) Дайте определение простых (элементарных) и составных квадратурных формул. Почему можно ожидать, что погрешность вычисления по составной формуле меньше, чем по элементарной формуле.

b) Укажите причины, по которым для решения задачи Коши для ОДУ одношаговые методы предпочтительнее многошаговых методов той же точности.

8)

a) Дайте определение квадратурных формул интерполяционного типа. Что может служить оценкой погрешности вычислений по ним.

b) В чем состоятвозможные преимущества использования неявных формул по сравнению с явными при численном решении задачи Коши для ОДУ.

9)

a) Укажите элементарную и выведите составную формулу правых прямоугольников.

b) В чемсостоят возможные недостатки использования неявных формул по сравнению с явными при численном решении задачи Коши для ОДУ.

10)

a) Выведите составную формулу левых прямоугольников.

b) Укажите причины, по которым для решения задачи Коши дляОДУ использовать многошаговые методы предпочтительнее одношаговых методов той же точности..

11)

a) Укажите элементарную и выведите составную формулу Симпсона.

b) Укажите правило Рунге апостериорной погрешности при численном решении задачи Коши для ОДУ.

12)

a) Укажите элементарную и выведите составную формулу трапеций.

b) Укажите способ практической оценки погрешности вычислений на шаге интегрирования при решении задачи Коши для ОДУ явным методом Эйлера.

13)

a) Выведите элементарную формулу парабол трапеций и укажите ее алгебраическую степень точности.

b) Какие методы одношаговые или многошаговые более удобны в алгоритмах автоматического выбора шага интегрирования для решения задачи Коши для ОДУ? Почему?

14)

a) Какова наивысшая алгебраическая степень точностиквадратурные формулы, если число ее узлов и коэффициентов равно n. Поясните ответ. Какова алгебраическая степень точности формулы Симпсона?

b) Являются ли методы Рунге-Кутта решения задачи Коши для ОДУ одношаговыми? В чемсостоят возможные преимущества одношаговых методов.

15)

a) Правило Рунге апостериорной оценки погрешности составных квадратурных формул (с выводом).

b) Укажите общую схему получения расчетных формул методов типа Рунге-Кутты для решения задачи Коши для ОДУ.

16)

a) Как на практике оценить главный член погрешности составной квадратурной формулы.

b) Являются ли методы Адамса решения задачи Коши для ОДУ одношаговыми? В чемсостоят возможные недостатки одношаговых методов.

17)

a) Что оценивает величина , где - значение интеграла, вычисленное с шагом , - значение интеграла, вычисленное с шагом . Поясните ответ.

b) Дайте определение и приведите примеры одношаговых и многошаговых, явных и неявных методов.

18)

a) Чему равна сумма коэффициентов любой квадратурной формулы. Поясните ответ.

b) Дайте определение сеточной функции и сеточной нормы. Можно ли утверждать, что численное решение задачи Коши представляет собой сеточную функцию?

19)

a) Укажите разностные отношения для вычисления первой производной, для которой оценка погрешности аппроксимации имеет квадратичный порядок по отношению к расстоянию между узлами.

b) Сформулируйте задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка. В каком виде (аналитическом, табличном) получится функция решения при решении приближенными методами Пикара, рядов Тейлора. Приведите пример такого метода.

20)

a) Укажите элементарную и выведите составную формулу правых прямоугольников.

b) Сформулируйте задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка. В каком виде (аналитическом, табличном) получится функция решения при решении численными методами. Приведите пример такого метода.