Решение тестовых задач

Постановка задачи

Решить задачу о растяжении стержня постоянного сечения продольными переменными усилиями. Решение получить МКР прямой подстановкой с учётом неоднородности стержня ( – модуль Юнга является функцией координаты).

Проверить сходимость решения. Определить и построить сеточную функцию напряжений .

Методика решения

Решение поставленной краевой задачи будем производить методом конечных разностей при помощи прямой подстановки конечно-разностных аналогов производных в основное дифференциальное уравнение и граничные условия.

Для построения конечно-разностной схемы преобразуем исходное дифференциальное уравнение к следующему виду

.

Следуя методу конечных разностей, мы имеем право, с некоторой погрешностью, заменить производные функций на конечно-разностные аналоги на некоторой сетке. Введём равномерную сетку:

.

На заданной сетке вводим сеточные функции:

, , .

Используем следующие конечно-разносные аналоги производных на внутренних узлах сетки :

, , , .

Подставляем полученные соотношения в основное уравнение

, .

После элементарных преобразований получаем следующую систему уравнений:

, .

Дополним систему граничными условиями. Для левой границы характерно граничное условие первого рода, которое в конечно-разностной форме имеет вид: . На правой границе имеем граничное условие второго рода. Заменяя производную на границе левой конечной разностью, получаем следующее конечно-разностное выражение: .

В итоге получаем полную систему уравнений вида:

Представим систему в матричном виде , где

,

, .

Решение тестовых задач

Произведём решение некоторых тестовых задач при конкретных значениях параметров. В результате решения получим графики изменения перемещений и напряжений по длине стержня.

Для определения напряжений на внутренних узлах сетки используем следующий конечно-разностный аналог

.

На границах сетки воспользуемся левой и правой конечными разностями: , .

1) Произведём решение задачи, предполагая модуль Юнга непрерывным.

Длина стержня , м
Растягивающая сила , Н/м3
Модуль Юнга , Н/м2

Решение задачи выполняем на последовательности сгущающихся сеток , , со следующими количествами точек сетки: , , . На рис. 1 представлены графики изменения перемещения по длине стержня, а на рис. 2 – графики изменения напряжений по длине стержня.

 

ЗДЕСЬ ДОЛЖЕН БЫТЬ РИСУНОК 1

 

Рис. 1. Изменение перемещений по длине стержня
при непрерывном модуле Юнга

 

ЗДЕСЬ ДОЛЖЕН БЫТЬ РИСУНОК 2

 

Рис. 2. Изменение напряжений по длине стержня
при непрерывном модуле Юнга

 

Оценим сходимость решения по перемещениям на последовательности сгущающихся сеток. Для этого определим гильбертову норму близости решений для каждой пары последовательных сеток . Норма имеет вид

.

В результате получим следующие значения норм:

????????? (вписать своё)

??????????? (вписать своё)

2)

Произведём решение задачи, предполагая модуль Юнга кусочно-непрерывным.

Длина стержня , м
Растягивающая сила , Н/м3
Модуль Юнга , Н/м2

Решение задачи выполняем на последовательности сгущающихся сеток , , со следующими количествами точек сетки: , , . На рис. 3 представлены графики изменения перемещения по длине стержня, а на рис. 4 – графики изменения напряжений по длине стержня.

 

ЗДЕСЬ ДОЛЖЕН БЫТЬ РИСУНОК 3

 

Рис. 3. Изменение перемещений по длине стержня
при кусочно-непрерывном модуле Юнга

 

ЗДЕСЬ ДОЛЖЕН БЫТЬ РИСУНОК 4

 

Рис. 4. Изменение напряжений по длине стержня
при кусочно-непрерывном модуле Юнга

 

Оценим сходимость решения по перемещениям на последовательности сгущающихся сеток. Используем гильбертову норму из п. 1.

В результате получим следующие значения норм:

????????? (вписать своё)

??????????? (вписать своё)

Анализ результатов

По полученным значениям норм п. 1 и п. 2 можно сделать вывод, что при увеличении числа точек сетки в два раза норма тоже уменьшается примерно в два раза, что говорит о сходимости решения по перемещениям и порядок сходимости равен единице, то есть сходимость пропорциональна шагу сетки в первой степени. Это следует из того, что в основном дифференциальном уравнении и на правой границе присутствует аппроксимация первой производной левой и правой конечными разностями, а подобная аппроксимация имеет первый порядок сходимости.

Напряжения в стержне при растяжении/сжатии распределёнными усилиями должны быть непрерывны. Однако, из рис. 4 видно, что напряжения возле точки разрыва модуля Юнга претерпевают необъяснимые скачи. Отсюда можно сделать вывод, что методика прямой подстановки конечно-разностных аналогов не даёт корректного решения по напряжениям, так как не содержит учёта физических соотношений задачи.

Выводы

В результате выполнения работы построена конечно-разностная модель задачи о растяжении стержня распределёнными усилиями.

Получены решения задачи при различных исходных данных.

Произведена оценка сходимости решения по перемещениям на последовательности сгущающихся сеток.

Показана некорректность применения метода прямой подстановки при решении задач с разрывным модулем Юнга.