Переход от записи в одной системе счисления к записи в другой.

Позиционные и непозиционные системы счисления.

Переход от записи числа в одной системе счисления к записи в другой.

Язык для наименования, записи чисел и выполнения действий над ними (над числами) называют системой счисления.

1. Позиционные и непозиционные системы счисления

Язык для наименования, записи чисел и выполнения действий над ними называют системой счисления.

Различают позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах один и тот же знак может обозначать различные числа в зависимости от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа. Так, шестидесятеричная вавилонская и десятичная системы счисления являются позиционными.

Непозиционные системы счисления

Непозиционные системы характеризуются тем, что каждый знак (из совокупности знаков, принятых в данной системе для обозначения чисел) всегда обозначает одно и то же число, независимо от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа. Примером такой системы может служить римская система, возникшая в средние века. В этой системе счисления имеются знаки для узловых чисел: единица обозначается – I, пять – V, пятьдесят – L, сто – С, пятьсот – D, тысяча – М. Все остальные числа получаются при помощи двух арифметических действий: сложения и вычитания. Вычитание производится тогда, когда знак, соответствующий меньшему узловому числу, стоит перед знаком большего узлового числа. Например, IV – четыре, XC – девяносто.

Задача 1.Записать числа 192, 564, 3807 в римской нумерации.

Решение. 192 – это сто (С) плюс девяносто, т.е. сто без десяти (ХС), плюс два (II); следовательно, число 192 записывается как CXCII.

564 – это пятьсот (D) плюс пятьдесят (L) плюс десять (Х) плюс четыре, т.е. пять без одного (IV). Следовательно, 564 записывается как DLXIV.

3807 – это три тысячи (МММ) плюс пятьсот (D) плюс сто (С) плюс сто (С) плюс сто (С) плюс пять (V) плюс два (II). Следовательно, число 3807 записывается так: MMMDCCCVII.

Если число содержит несколько (немного) тысяч, то для его записи в римской нумерации пользуются повторением знака M. Вообще же числа четырех-, пяти-, и шестизначные записывались с помощью буквы m (от лат. слова mille – тысяча), слева от которой записывали тысячи, а справа – сотни, десятки, единицы. Так запись CXXXIIImDCCCXLII является записью числа 133842.

Позиционные системы счисления, отличные от десятичной

Основанием позиционной системы счисления может быть не только число 10, но и вообще любое натуральное число p≥2. Система счисления с основанием p называется p-ичной. Так, если p = 2, то – двоичной, если p = 8 – восьмеричной, если р = 10 – десятичной.

Для записи чисел в системе с основанием р необходимо р символов. Принято использовать знаки десятичной системы счисления: 0, 1, 2, ..., p – 1. Например, числа в троичной системе счисления записывают при помощи символов 0, 1, 2, а в пятеричной – при помощи символов 0, 1, 2, 3, 4.

Записью натурального числа х в системе счисления с основанием р называется его представление в виде: х = аnрn+ аn-1 рn-1 + ... + +a1p+ а0 (1), где коэффициенты аn , аn-1, … , а1 ,а0 принимают значения 0, 1, 2, …, p-1 и а n≠ 0.