Множества и отображения

2018-06-29

547

Обсуждений (0)

0.00 из 5.00 0 оценок

1.1 Множества и действия над ними. Ту или иную совокупность (класс, семейство) рассматриваемых объектов будем называть множеством, а соответствующие объекты – элементами или точками этого множества. Далее запись означает, что элемент

принадлежит множеству

, а запись , - что он не принадлежит этому множеству. Множество состоящее из конечного числа элементов называется конечным, в противном случае оно называется бесконечным. Для описания конечных множеств достаточно перечислить все их элементы, при этом они обычно заключаются в фигурные скобки. В частности, запись

означает, что множество А состоит из всех элементов от «а» до «я», а запись

, что множество

состоит из всех нечетных чисел от 1 до 31. Аналогично могут описываться и некоторые бесконечные множества. Например,

- множество всех натуральных чисел, а

-множество всех целых чисел. Множество, состоящее из одного элемента

, обозначается

. Часто множества образуются на основании какого-то общего свойства своих элементов. В этом случае удобно другое их описание. А именно, пусть

- некоторое свойство и запись

означает, что элемент

обладает свойством

. Тогда запись

означает, что множество

состоит из всех объектов, обладающих свойством

, а запись

, что множество

состоит из всех тех элементов множества

, которые обладают свойством

. Например, - множество всех рациональных чисел, т.е. множество всех обыкновенных дробей. Далее если, как обычно, через

обозначить множество всех вещественных чисел, т.е. множество всех рациональных и всех иррациональных чисел, то, например, запись

означает, что

– множество всех вещественных корней уравнения

(очевидно, что

). К числу множеств удобно отнести и, так называемое, пустое множество, которое по определению не содержит ни одного элемента. Пустое множество обозначается одним из символов L или Ø. Определение 1. Если каждый элемент множества

является также и элементом множества

, то множество

называется подмножеством множества

, при этом пишут

или

. Если множество

не является подмножеством множества

, то пишут

. Очевидно,

для любого множества

. По определению полагаем также, что Ø

. Определение 2. Множества

называют равными друг другу и пишут

, если они состоят из одних и тех же элементов или, иначе, если

. Далее иногда будет использоваться специальная символика: ך – знак логического отрицания (читается “не”); ∧ – знак конъюнкции или логического умножения (читается “и”); ∨ – знак дизъюнкции или логического сложения (читается “или”); ⇒ – знак импликации или логического следования (читается “влечет”); ⇔ – знак эквивалентности (читается “эквивалентно”, “равносильно”, а также “необходимо и достаточно”, “тогда и только тогда”, “если и только если” и т.п.) ∃ – квантор существования (читается “существует”, “найдется”); ∀ – квантор всеобщности ( читается “любой” или “для любого”); ≜ – равно по определению. С помощью этой символики, например, определениям 1 и 2 можно придать следующую краткую форму:

. Определение 3.Объединениеммножеств

называется множество

. Определение 4. Пересечением множеств

называется множество

. По аналогии с определениями объединения и пересечения двух множеств вводится определение объединения и пересечения любого числа множеств (как конечного так и бесконечного). Очевидно, имеют место следующие свойства операций ∪ и ∩: а)

(коммутативность операции ∪); б)

(коммутативность операции ∩); в)

(ассоциативность операции ∪); г)

(ассоциативность операции ∩); д)

(дистрибутивные свойства операций ∪ и ∩); Определение 5. Разностью между множеством

и множеством

называется множество

. Определение 6. Прямым(или декартовым) произведениеммножеств

и называется множество всех упорядоченных пар

таких, что

. Прямое произведение множеств

и обозначается

. Отметим, что вообще говоря,

. Примеры. i) Прямое произведением двух отрезков

можно рассматривать как прямоугольник на плоскости, ii) Прямое произведение круга и отрезка можно рассматривать как цилиндр в пространстве, iii) Прямое произведение

множества вещественных чисел

на себя можно рассматривать как плоскость с введенной в ней декартовой системой координат 1.2.Понятие отображения. Пусть

– произвольные множества. Правило

, по которому каждому элементу

ставится в соответствие определенный, и при том единственный, элемент

называется отображением множества

во множество

, при этом множество

называется областью определения отображения

, а множество

–областью значений этого отображения. Отображение

множества

во множество

обозначают одним из следующих способов: ; или ,

; Кратко его обозначают также

, или , если ранее уже были описаны его область определения и область значения. Если элемент

отображением сопоставляется элементу

, то элемент

называют образом элемента

при отображении

или значением отображения

в точке

и обозначают

, при этом пишут , а сам элемент

, который отображением

сопоставляется элементу

называют прообразом элемента y при отображении

. Подчеркнем, что образ элемента

при отображении (по определению отображения) определяется однозначно, а прообразов элемента

при том же отображении может быть несколько. Множество всех прообразов элемента

при отображении обозначается

. Элемент

из области определения отображения

часто называют независимой переменной или аргументомэтого отображения, а элемент

из области значений, соответственно, называют зависимой переменной. ----------------------------------------------------------------------------------- Множество называется графиком отображения . ----------------------------------------------------------------------------------------------- Пусть задано отображение и множество

.Определим новое отображение ,полагая, что

. Так определенное отображение

называется сужением отображения

на множество

и обычно обозначается . -------------------------------------------------------------------------------------- Образом множества

при отображении называют множество

. ------------------------------------------------------------------------------------- Образ

области определения отображения называют множеством значений этого отображения. Ясно, что

, но при этом не исключено, что

, т.е. понятия множества значений и области значений отображения , вообще говоря, разные понятия. Отображения и

называют равными друг другу и пишут

, если

. ------------------------------------------------------------------------------------ Отображение будем называть а) функцией, если

(в частности, отображение

, где

– произвольное, необязательно числовое множество, является функцией) б) числовой функцией или функцией одной переменной, если

. ------------------------------------------------------------------------------------ Отображение

множества натуральных чисел

в произвольное множество

будем называть последовательностью (во множестве

), при этом, если

, то ее будем называть числовой последовательностью или, также, последовательностью вещественных чисел. Последовательность

обозначается символом

, а иногда и просто

, где

≜

–образ точки

при отображении

. 1.3. Суперпозиция отображений. Пусть даны отображения и

. Новое отображение

, определенное по следующему правилу: называют суперпозициейотображений

. Суперпозицию

отображений

обычно обозначают символом

(таким образом,

), при этом если оба отображения

являются функциями, то их суперпозицию

называют сложной функцией. Пусть теперь даны три отображения ,

Тогда можно определить следующие два новых отображения: и

Утверждение 1. . Доказательство. Очевидно, для любого

■ Таким образом, вместо

можно писать

. 1.4. Обратное отображение. Определение 1. Отображение называется а) сюръективнымили отображением “на”, если

; b) инъективнымили взаимно однозначным отображением «в», если из того, что

следует, что

(или, равносильно, если из того, что

следует, что

); в) биективнымили взаимно однозначным отображением «на» или также взаимно однозначным соответствием, если оно одновременно инъективно и сюръективно. ------------------------------------------------------------------------------------------------- Пусть отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами

, т.е. является биективным. Тогда можно определить новое отображение