Точечные оценки числовых характеристик

Оценки числовых характеристик законов распределения вероятности случайных чисел или величин, изображаемые точкой на числовой оси, называются точечными.В отличие от самих числовых характеристик оценки являются случайными, причем их значения зависят от объема экспериментальных данных, а законы распределения вероятности – от законов распределения вероятности самих случайных чисел или значений измеряемых величин. Оценки должны удовлетворять трем требованиям: быть состоятельными, несмещенными и эффективными. Состоятельной называется оценка, которая сходится по вероятности к оцениваемой числовой характеристике. Несмещенной является оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемой числовой характеристике. Наиболее эффективной считают ту из нескольких возможных несмещенных оценок, которая имеет наименьшее рассеяние.

Рассмотрим n независимых значений Q_i, полученных при измерении физической величины постоянного размера. Пусть каждое из них отличается от среднего значения на случайное отклонение d_i:

Сложив между собой левые и правые части этих уравнений и разделив их на n, получим

В пределе при n®¥

Здесь

так что среднее арифметическое значение результата измерения

сходящееся по вероятности к , при любом законе распределения вероятности результата измерения может служить состоятельной точечной оценкой среднего значения.

Математическое ожидание среднего арифметического:

Поэтому среднее арифметическое при любом законе распределения вероятности результата измерения является не только состоятельной, но и несмещенной оценкой среднего значения. Этим обеспечивается правильность результата многократного измерения.

Точность результата многократного измерения зависит от эффективности оценки среднего значения. Чем она эффективнее (чем меньше ее рассеяние), тем выше точность (см. рисунок 1). Критерии эффективности могут быть разными. При нормальном законе распределения вероятности наиболее популярным является такой показатель эффективности (мера рассеяния), как сумма квадратов отклонений от среднего значения. Чем меньше этот показатель, тем эффективнее оценка. Это позволяет поставить задачу отыскания оценки среднего значения наиболее эффективной по критерию:

(3)

Такая задача называется задачей синтеза оптимальной (т.е. наилучшей в смысле выбранного критерия) оценки среднего значения, а метод ее решения, основанный на использовании критерия (3), – методом наименьших квадратов.

Исследуем функцию в левой части выражения (3) на экстремум. Она достигает минимума при

После возведения в квадрат и почленного дифференцирования получим

Если в качестве оценки выбрать среднее арифметическое , то равенство

будет выполняться при n®¥ в силу состоятельности этой оценки. Таким образом, среднее арифметическое является не только состоятельной и несмещенной, но и наиболее эффективной по критерию наименьших квадратов точечной оценкой среднего значения результата измерения.

В качестве точечной оценки дисперсии результата измерения по аналогии со средним арифметическим можно было бы взять

При любом законе распределения вероятности результата измерения эта оценка является состоятельной, т.к. при n®¥ второе слагаемое в правой части стремится к нулю, а первое – к s²_Q. Но

т.е. такая оценка является смещенной.

Несмещенную оценку можно получить, умножив ее на коэффициент . При n®¥ этот коэффициент стремится к 1, так что несмещенная точечная оценка дисперсии при любом законе распределения вероятности результата измерения

(4)

остается состоятельной. Квадратный корень из нее

называется стандартным отклонением.

Оценив среднее значение и среднее квадратическое отклонение s_Q результата измерения, можно, используя вместо этих числовых характеристик точечные оценки и S_Q, по «правилу трех сигм» проверить, не являются ли некоторые сомнительные значения Q_i ошибочными.

Если окажется, что они отличаются от среднего арифметического больше чем на 3S_Q, то их следует отбросить (см. рисунок 2). После этого рассчитываются окончательные значения и S_Q .

Пример 1. 15 независимых числовых значений результата измерения температуры в помещении по шкале Цельсия приведены во второй графе таблицы 1.

Не допущено ли ошибок при их получении?

Решение

1. Среднее арифметическое результата измерения .

2. При определении стандартного отклонениярезультаты вспомогательных вычислений сведем в третью и четвертую графы табл. 1.

.

Таблица 1 – Результаты измерения температуры

i	ti
	20,42	0,016	0,000256	0,009	0,000073
	20,43	0,026	0,000676	0,019	0,000345
	20,40	-0,004	0,000016	-0,011	0,000131
	20,43	0,026	0,000676	0,019	0,000345
	20,42	0,016	0,000256	0,009	0,000073
	20,43	0,026	0,000676	0,019	0,000345
	20,39	-0,014	0,000196	-0,021	0,000459
	20,30	-0,104	0,010816	–	–
	20,40	-0,004	0,000016	-0,011	0,000131
	20,43	0,026	0,000676	0,019	0,000345
	20,42	0,016	0,000256	0,009	0,000073
	20,41	0,006	0,000036	-0,001	0,000002
	20,39	-0,014	0,000196	-0,021	0,000459
	20,39	-0,014	0,000196	-0,021	0,000459
	20,40	-0,004	0,000016	-0,011	0,000131

3. Больше, чем на 3S_t=0,099 от среднего арифметического отличается восьмое значение. Следовательно оно является ошибочным и должно быть отброшено.

4. Без восьмого значения .

5. Результаты вспомогательных вычислений при повторном определении стандартного отклонения сведем в пятую и шестую графы табл. 1

6. Ни одно из оставшихся значений t_i не отличается теперь от среднего арифметического больше чем на 3 S_t=0,046555. Можно, следовательно, считать, что среди них нет ошибочных.

Универсальный метод отыскания эффективных оценок числовых характеристиклюбых законов распределения вероятности случайных чисел или величин разработан Р.А. Фишером. Он называетсяметодом максимального правдоподобия. Сущность этого метода заключается в следующем.

Многомерная плотность распределения вероятности системы случайных значений р(Q₁,Q₂,...,Q_n) рассматривается как функция числовых характеристик закона распределения вероятности.

Эта функция

называемая функцией правдоподобия, показывает, насколько то или иное значение каждой числовой характеристики «более правдоподобно», чем другие. Функция правдоподобия достигает максимума при значениях переменных, являющихся их наиболее эффективными оценками. Последние, следовательно, находятся из условия

что равносильно совместному решению уравнений

Для упрощения вычислений функцию правдоподобия иногда логарифмируют. Так как логарифм является монотонной функцией, то L и InL достигают экстремума при одних и тех же значениях переменных. Наиболее эффективные оценки числовых характеристик, следовательно, могут определяться из совместного решения уравнений

Пример 2. Определить методом максимального правдоподобия эффективные оценки среднего значения и дисперсии результата измерения, независимые равноточные значения которого подчиняются нормальному закону распределения вероятности.

Решение

1. Плотность распределения вероятности каждого отдельного значения результата измерения

Поскольку все значения независимые, плотность распределения вероятности системы случайных величин

Таким образом функция правдоподобия

.

2. Логарифм функции правдоподобия

.

3. Уравнения, из которых находятся оценки:

4. Решение первого уравнения

совпадает с результатом, полученным методом наименьших квадратов.

5. Решение второго уравнения

дает хотя и эффективную, но, как мы видели, несколько смещенную оценку. К несмещенной оценке приводит введение поправочного множителя .