Обработка экспериментальных данных, не подчиняющихся нормальному закону распределения вероятности

Если гипотеза о том, что результат измерения подчиняется нормальному закону распределения вероятности отвергается, то существует несколько возможностей.

1) При особо точных и ответственных измерениях может быть поставлена задача определения закона распределения вероятности результата измерения. Однозначного решения она не имеет, и вывод о том, что экспериментально найденная плотность распределения вероятности подчиняется какому-то конкретному закону, может быть сделан лишь с той или иной вероятностью. Это довольно сложная и трудоемкая процедура, требующая значительных дополнительных затрат, и необходимость ее в каждом отдельном случае должна быть технико-экономически обоснована.

После определения с той или иной вероятностью закона распределения вероятности результата измерения методом максимального правдоподобия (см. разд. 1. 1) устанавливаются оценки его числовых характеристик, и на основе их использования разрабатывается вся последующая процедура обработки экспериментальных данных. Такая обработка называется оптимальной и обеспечивает наивысшую точность при выбранных критериях.

2) Если закон распределения вероятности результата измерения незначительно отличается от нормального (чаще всего это отличие проявляется в повышенной вероятности больших отклонений от среднего значения), то применяются так называемые робастные (устойчивые к отклонениям от нормального закона распределения вероятности) методы обработки экспериментальных данных. Все они основаны на ослаблении влияния больших отклонений от среднего значения на его оценку.

В простейшем случае большие отклонения просто отбрасываются, что приводит к усеченному нормальному закону распределения вероятности результата измерения. В этом случае оценкой среднего значения становится медиана закона распределения вероятности результата измерения.

при нечетном n;   при четном n.

В некоторых случаях большие отклонения не отбрасываются, а заменяются на ближайшие из оставшихся значений результата измерения, либо включаются в обработку с малыми весовыми коэффициентами. Порядок дальнейшей обработки экспериментальных данных не меняется. Предельным случаем усечения является оставление одного (при нечетном n) или двух (при четном n) значений результата измерения.

Среднее арифметическое не относится к устойчивым (робастным) оценкам. Объясняется это тем, что даже очень редкие большие отклонения (выбросы), не подчиняющиеся нормальному закону распределения вероятности, играют по критерию (3) существенную роль. Операция возведения в квадрат делает их доминирующими среди слагаемых, а эффективность оценки, полученной методом наименьших квадратов, резко падает.

Ослабление влияния больших отклонений на оценку среднего значения (т.е. повышение ее устойчивости) достигается при синтезе оценки по критерию эффективности, в котором квадратичная зависимость заменена на более слабую. Показателем эффективности (мерой рассеяния), в частности, может быть сумма отклонений от среднего значения или некоторая ее функция. Оценки, синтезированные по критерию

называются М-оценками. Функция ³0 при малых значениях аргумента выбирается близкой к квадратичной, а при больших – возрастающей медленнее, чем квадратичная. В зависимости от вида этой функции различают робастные оценки Хубера, Хампела, Андрюса, Тьюки и другие. Все они слабо зависят от выбросов и отклонений от нормального закона определения вероятности, а в случае, когда результат измерения подчиняется нормальному закону, близки к оценке среднего значения, полученной методом наименьших квадратов.

Разновидностью М-оценок являются l^P-оценки, получаемые при

В отличие от перечисленных М-оценок они более эффективны вблизи других законов распределения вероятности, отличных от нормального. В частности, l¹-оценка, или оценка наименьших модулей, получаемая из условия

и совпадающая с медианой, оптимальна при экспоненциальном законе распределения вероятности результата измерения.

Используются и другие робастные оценки.

3) С невысокой точностью значение измеряемой величины можно установить даже не интересуясь законом распределения вероятности результата измерения. Среднее арифметическое в этом случае может оказаться неэффективной оценкой, но его все равно целесообразно использовать, так как при всех обстоятельствах дисперсия среднего арифметического согласно соотношению (2) в n раз меньше дисперсии результата измерения, оценка которой на основании свойств дисперсии может быть представлена в виде

Стандартное отклонение среднего арифметического при любом законе распределения вероятности

Задавшись доверительной вероятностью Р, по нижней кривой на рис. 5 можно определить, на сколько , среднее арифметическое , может отличаться от среднего значения результата измерения при любом законе распределения вероятности. С неменьшей вероятностью

где, как обычно, – половина доверительного интервала. Соответствующий порядок действий показан на рисунке 2.