Поверхности жидкости, при действии постоянного ускорения.

Задача 7. Топливный бак автомобиля длиной L =0,6 м, шириной в = 0,5 м и высотой Н = 0,2 м движется с постоянным ускорением а = 3,27 м /с². Определить минимальное количество топлива в баке, обеспечивающего его подачу без подсоса воздуха. Считать, что бензопровод установлен в центре горизонтальной проекции бака, его диаметр мал по сравнению с длиной бака, а расстояние от среза бензопровода до днища бака h = 10 мм. Рис. 6.

Рис. 6

Решение.

При движении с постоянным ускорением, поверхность топлива примет положение плоскости, перпендикулярной к вектору j суммы массовых сил а и направления силы тяжести g:

j = а + g.

Угол наклона поверхности топлива к горизонту α определяется соотношением:

tg α = а / g = 3,27/9,81 = 1/3.

Для обеспечения выполнения условия задачи об отсутствии подсоса воздуха, поверхность топлива в месте установки бензопровода должна проходить через срез бензопровода. В этом случае на левой боковой стенке бака поверхность топлива достигнет высоты:

Н₀ = h + (L/2) tg α = 0,01 + (0,6/2)(1/3) = 0,11м.

Поверхность топлива пересечется с горизонтальной поверхностью днища бака на расстоянии L₀, отсчитываемого от левой стенки бака:

L₀ = L/2 + h сtg α = 0,6/2 + 0,01*3 = 0,33.

Объем бензина равен:

V = в Н₀ L₀ /2 = 0,5*0,11*0,33/2 = 9,1 10^-3 м³ = 9,1 л.

Задача 8. В сосуд высотой Н = 0,3 м залита жидкость до уровня h = 0,2 м. Определить, до какой угловой скорости ω можно раскрутить сосуд, с тем, чтобы жидкость не выплеснулась из него, если его диаметр D = 100мм. Рис. 7.

Рис. 7

Решение.

Объем жидкости в сосуде: V = πD² h /4.

При вращении этот объем жидкости распределится в виде суммы цилиндрического объем жидкости высотой h₀, прилегающего к днищу сосуда, и объема жидкости, находящегося в параболоиде вращения. Объем жидкости, находящейся в параболоиде вращения равен половине объема цилиндра, той же высоты, что и вращающийся цилиндр, то есть:

V = πD² h₀ /4 + πD² (Н - h₀) /8 = πD² h /4.

Откуда:

h₀ + (Н - h₀) /2 = h или h₀ = 2 h – Н = 2*0,2 – 0,3 = 0,1 м.

По условию задачи, предельно допустимая угловая скорость вращения будет соответствовать условию, при котором давление на боковой поверхности цилиндра на высоте Н, будет соответствовать давлению в окружающей среде Р₀:

Р₀ = Р₀ + ((h₀ – Н) + ω² D² /(8 g)) ρg,

откуда:

ω = (8 g (Н - h₀))^1/2/ D = (8*9,81(0,3 – 0,1))^1/2/0,1 = 39,6 рад /с.

Задачи 9 и 10 связаны с использованием уравнения Бернулли.

Задача 9.Вода перетекает из напорного бака, где избыточное давление воздуха Р_изб = 0,3 МПа, в открытый резервуар по короткой трубе d = 50 мм, на которой установлен кран. Чему должен быть равен коэффициент сопротивления крана ξ _кр для того, чтобы расход воды составил Q = 8,7 л /с. Высоты уровней Н₁ = 1 м и Н₂ = 3 м. Учесть потери напора на входе в трубу (ξ _вх = 0,5) и на выходе из трубы (внезапное расширение) ξ _вых = 1. Рис. 8.

Решение.

Запишем уравнение Бернулли для двух пар сечений 1 – 1 (на уровне воды в резервуаре), сечения 2 – 2 (сразу после крана) и сечения 2 – 2 , сечения 3 – 3 на уровне воды в открытом резервуаре относительно оси трубы.

Первое уравнение Бернулли

Р₁ / (ρg) + Н₁ + U₁²/(2g) = Р₂ /(ρg) + (1 + ξ _кр + ξ _вх) U₂²/(2g),

где: Р₁ и Р₂ давления в сечениях 1 – 1 и 2 – 2, U₁ и U₂ – скорости в тех же сечениях, причем U₁ = 0, так как в напорном баке и открытом резервуаре, по условиям задачи, поддерживается постоянный уровень, то есть и U₃ = 0.

Скорость U₂ определяется из уравнения расхода:

U₂ = 4Q / (π d²) = 4*8,7 10^-3 / (3,14*0,05²) =4,43 м /с.

Рис. 8

Второе уравнение Бернулли

Р₂ /(ρg) + U₂²/(2g) = Р_а/(ρg) + Н₂ + U₃²/(2g) + ξ _вых U₂²/(2g),

Суммируя два уравнения Бернулли, с учетом того, что U₁ = U₃ =0 и Р₁ – Р_а = Р_изб, получим:

ξ _кр = ((Р_изб / (ρg) + Н₁ – Н₂) (2g) / U₂² - ξ _вх - ξ _вых = ((0,3 10⁶/(1000*9,81) +

+ 1 – 3)(2*9,81)/ 4,43² – 0,5 – 1 = 27,1.

Задача 10. Определить расход жидкости, вытекающей из трубы диаметром d = 16 мм через плавное расширение (диффузор) и далее по трубе диаметром D = 20 мм в бак. Коэффициент сопротивления диффузора ξ _диф = 0,2 (отнесен к скорости в трубе диаметром d), показание манометра Р_м = 20 кПа; высота h = 0,5 м, Н = 5 м; плотность жидкости ρ = 1000 кг/м³. Учесть потери на внезапное расширение ξ _рас = 1, потерями на трение пренебречь, режим течения считать турбулентным. Рис. 9.

Решение.

Если через Р_а обозначить абсолютное давление на уровне жидкости в баке, то абсолютное давление в сечении 1 – 1, где установлен манометр:

Р₁ = Р_м + Р_а + ρgh или Р₁ – Р_а = Р_м + ρgh.

Поскольку режим течения турбулентный, примем, что коэффициенты Кориолиса равны 1.

Рис. 9

Запишем уравнение Бернулли для сечения 1 – 1 и сечения 2 – 2 в произвольном поперечном сечении трубы диаметром D, относительно общей оси труб:

Р₁ / (ρg) + U₁²/(2g) = Р₂ + U₂²/(2g) + ξ _диф U₁²/(2g),

Аналогично можно записать уравнение Бернулли для сечения 2 – 2 и сечения 3 – 3, взятого на уровне воды в баке с учетом того, что Р₃ = Р_а и U₃ = 0:

Р₂ /(ρg) + U₂²/(2g) = Р_а/(ρg) + Н + ξ _рас U₂²/(2g).

Сложив два последних уравнения, получим:

(Р₁ – Р_а) /(ρg) = Н + ξ _диф U₁²/(2g) + ξ _рас U₂²/(2g) - U₁²/(2g),

С учетом того, что из уравнения сохранения расхода жидкости:

Q = πd² U₁/4 = π D² U₂/4 следует, что U₂ = U₁ (d/D)².

Из последнего уравнения получим:

U₁ = {2g[Н - (Р_м + ρgh) /(ρg)] / [1 - ξ _диф - ξ _рас(d/D)⁴]}^1/2 = {2*9,81[5 – (20*10³ +

+ 1000*9,91*0,5) /(1000*9,81)] / [1 – 0,2 – 1*(0,016/0,020)⁴ ]}^1/2 = 11,3 м /с.

Объемный расход жидкости равен:

Q = πd² U₁/4 = 3,14*0,016²*11,3/4 = 2,27 10^-3 м³/с = 2,27 л/с.