Прямолинейно-параллельный фильтрационный поток упругой жидкости. Случай второй

В таком же полубесконечном пласте, что и в случае первом, в момент времени t = 0 пущена в эксплуатацию галерея с постоянным объемным дебитом Q.

Требуется найти давление в любой точке пласта в любой момент времени. Аналогично первому случаю, интегрированием решаем уравнение (5) при начальных и граничных условиях:

Аналогично, обращаясь к источнику [1], распределение давления можно найти по формуле:

Кроме того, интерес представляет закон изменения давления на галерее. Находим его, используя те же условия (12):

Плоскорадиальный фильтрационный поток упругой жидкости

Пусть в неограниченном горизонтальном пласте постоянной толщины h имеется добывающая скважина нулевого радиуса (точечный сток). Начальное пластовое давление во всем пласте одинаково и равно p_к. В момент времени t = 0 скважина пущена в эксплуатацию с постоянным объемным дебитом Q₀. В пласте образуется неустановившийся плоскорадиальный поток упругой жидкости. Распределение давления в пласте (в любой его точке в любой момент времени) p(r, t) определяется интегрированием уравнения (8).

Начальные и граничные условия следующие:

Снова обратимся к источнику [1], распределение давления находится по формуле:

где Ei – так называемая интегральная показательная функция (табулированная).

Формула (16) получила название основной формулы теории упругого режима фильтрации. Она имеет широкое практическое применение и, в частности, используется при интерпретации результатов исследования скважин, в расчетах распределения давления при фильтрации упругой жидкости и т. д.

Принцип суперпозиции

Поскольку дифференциальные уравнения упругого режима (4), (5), (8) являются линейными, то к их решениям приложим метод суперпозиции, позволяющий исследовать интерференцию скважин и в условиях упругого режима.

Суть метода суперпозиции (метода наложения) состоит в том, что при совместной работе в пласте нескольких добывающих и нагнетательных скважин изменение пластового давления, вызванное работой каждой из скважин, подсчитывается так, как если бы данная скважина работала одна; затем изменения давления, вызванные работой каждой скважины, алгебраически суммируются по всем скважинам. При этом скорости фильтрации в любой данной точке пласта вызванные работой каждой скважины, суммируются геометрически [1].

Гидродинамический смысл метода суперпозиций состоит в том, что изменение пластового давления в любой точке пласта, вызванное работой каждой скважины (нагнетательной или добывающей), подсчитывается так, как если бы данная скважина работала в пласте одна, совершенно независимо от других скважин, затем эти независимо определенные для каждой скважины изменения давления в каждой точке пласта алгебраически суммируются.

Метод суперпозиций можно использовать не только в бесконечных пластах, но и в пластах, имеющих контур питания или непроницаемую границу той или иной формы. В этом случае для выполнения тех или иных условий на границах приходится вводить фиктивные скважины - стоки или скважины-источники за пределами пласта. Фиктивные скважины в совокупности с реальными обеспечивают необходимые условия на границах. При этом задача сводится к рассмотрению одновременной работы реальных и фиктивных скважин в неограниченном пласте. Этот метод называется методом отображения источников и стоков.

При помощи метода суперпозиции можно исследовать перераспределение пластового давления, вызванное пуском, остановкой или изменением темпов отбора жидкости из скважин.

Для расчета изменения пластового давления используется основная формула упругого режима фильтрации (16). Этой формулой, выведенной для точечного стока в бесконечном пласте, можно с высокой степенью точности пользоваться и в расчетах притока упругой жидкости к скважине конечного радиуса в открытом или закрытом конечном пласте. Поэтому результаты расчетов, основанные на методе суперпозиции и использовании формулы (16) для бесконечного пласта, оказываются справедливыми с достаточной степенью точности и в условиях конечного пласта.