Линейные дифференциальные уравнения.
Линейным дифференциальным уравнением n-го порядканазывается уравнение вида .(1) Здесь функции и заданы и непрерывны в некотором промежутке (a;b). Уравнение (1) называется линейным неоднородным, или уравнением с правой частью. Если же , то уравнение называется линейным однородным. Однородное уравнение с той же левой частью, что и данное неоднородное, называется соответствующим ему. Зная одно частное решение y1 линейного однородного уравнения, можно с помощью линейной замены искомой функции понизить порядок, а, следовательно, и порядок соответствующего неоднородного уравнения на единицу. Полученное уравнение (n – 1)-го порядка относительно z также является линейным. Вопрос 8. Линейные однородные дифференциальные уравнения. Общее решение линейных уравнений можно найти по их известным частным решениям. Приведем теорему о структуре общего решения линейного однородного уравнения. Теорема (о структуре общего решения линейного однородного уравнения). Если y1, y2, … , yn – линейно независимые частные решения уравнения , то есть общее решение этого уравнения ( – произвольные постоянные) Функции называются линейно независимыми в промежутке (a; b), если они не связаны никаким тождеством , где – какие-нибудь постоянные, не равные нулю одновременно. Для случая двух функций это условие можно сформулировать так: две функции y1(x) и y2(x) линейно независимы, если их отношение не является постоянной величиной: . Например: 1) y1=x, y2=x2 – линейно независимы; 2) , – линейно независимы; 3) , – линейно зависимы. Достаточным условием линейной независимости n функций, непрерывных вместе со своими производными до (n – 1)-го порядка в промежутке (a; b), является то, что определитель Вронского (вронскиан) W[y1, y2, … , yn] этих функций не равен нулю ни в одной точке промежутка (a; b), т.е. Если данные n функций являются частными решениями линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка, то условие необращения в нуль является не только достаточным, но и необходимым условием линейной независимости этих n решений. Совокупность n решений линейного однородного уравнения n-го порядка, определенных и линейно независимых в промежутке (a; b), называется фундаментальной системой решений этого уравнения. Для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка
фундаментальная система состоит из двух линейно независимых решений y1(x) и y2(x); его общее решение находится по формуле . Вопрос 9.
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (369)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |