Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).

Структура общего решения линейного неоднородного уравнения, т.е. уравнения с правой частью:

определяется следующей теоремой:

Если u = u (x) - частное решение неоднородного уравнения, а y₁ , y₂ , . . . , y_n – фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид y = u + C₁y₁ + C₂y₂ + . . . + C_ny_n; иными словами, общее решение неоднородного уравнения равно сумме любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Следовательно, для построения общего решения неоднородного уравнения надо найти одно его частное решение (предполагая уже известным общее решение соответствующего однородного уравнения).

Метод вариации произвольных постоянных. Применяется для отыскания частного решения линейного неоднородного уравнения n-го порядка как с переменными, так и с постоянными коэффициентами, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения.

Пусть известна фундаментальная система решений y₁ , y₂ , . . . , y_n соответствующего однородного уравнения. Тогда общее решение неоднородного уравнения следует искать в виде

u(x) = C₁(x)y₁ + C₂(x)y₂ + . . . + C_n(x)y_n ,

где функции С₁ (х), С₂(х), . . . , С_п (х) определяются из системы уравнений

[f (x) — правая часть данного уравнения].

Для уравнения второго порядка соответствующая система имеет вид

Решение этой системы находится по формулам

в силу чего и (х) можно сразу определить по формуле

( - вронскиан решений y₁ и у₂).

Вопрос 12

Системы дифференциальных уравнений. Нормальная система дифференциальных уравнений. Метод исключений.

Система дифференциальных уравнений вида

где x₁, x₂, . . . , x_n – неизвестные функции независимой переменной t, называется нормальной системой.

Если правые части нормальной системы дифференциальных уравнений являются линейными функциями относительно x₁, x₂, . . . , x_{n ,} то система дифференциальных уравнений называется линейной.

Иногда нормальную систему дифференциальных уравнений удается свести к одному уравнению n-го порядка, содержащему одну неизвестную функцию. Сведение нормальной системы к одному уравнению может быть достигнуто дифференцированием одного из уравнений системы и исключением всех неизвестных, кроме одного (так называемый метод исключения).

В некоторых случаях, комбинируя уравнения системы, после несложных преобразований удается получить легко интегрируемые уравнения (так называемый метод интегрируемых комбинаций), что позволяет найти решение системы.

Вопрос 13