 |
Главная |
Теория с примерами (кратко)
 2018-06-29 |
 271 |
 Обсуждений (0) |
из
5.00
|
Задача 4 (заочн.)
Однофакторный эксперимент. Равномерный симметричный план (РСП)
Теория с примерами (кратко)
1.Однофакторноеортогонализированноеуравнение регрессии второго порядка, в котором все 3 фактора 
ортогональны, имеет вид
.
2. Уравнение регрессии строится в нормированных значениях факторов. Натуральные значения фактора 
заданы на отрезке 
. Взаимосвязь нормированных значений фактора Х1 с натуральными х1 определяется следующими формулами:
;
;
;
,
где 
– основной уровень, интервал варьирования, максимальное и минимальное натуральные значения фактора х1, соответственно. Из уравнений – следует, что если 
, то 
.
3. Матрица планирования (МП) – таблица для построения однофакторногоортогонализированного уравнения регрессии второго порядка, состоящая из N опытов с числом дублей n в каждом опыте, включает в себя столбцы: 
. Значения 
(значение параметра Y в j-ом опыте и в i-ом дубле) позволяют провести предварительную обработку экспериментальных данных: расчет выборочных средних 
и выборочных дисперсий 
в каждом опыте, проверку выборочных дисперсий на однородность по критерию Кохрена, расчёт дисперсии воспроизводимости 
и её числа степеней свободы 
. Число опытов 
должно быть больше числа коэффициентов уравнения регрессии.
Для построения однофакторногоортогонализированного уравнения регрессии второго порядка будем создаватьМП на базе равномерного симметричного плана (РСП), в котором натуральные значения варьируются на равноотстоящих друг от друга уровнях:
, 
.
С учётом уравнений – нормированные значения фактора 
на базе РСП имеют следующие значения:
, .
Нормированные значения фактора 
зависят только от числа опытов Nи не зависят от интервала варьирования натурального значения фактора 
3.1. Предварительная обработка экспериментальных данных в МПна базе РСП для N ‑ опытов 
и n – дублей в каждом опыте 
.
3.1.1 Расчёт выборочных параметров:
‑ выборочное среднее 
в каждом опыте
, ;
‑ выборочная дисперсия в каждом опыте
, .
3.1.2. Проверка выборочных дисперсий на однородность по критерию Кохрена при условии, что объём всех выборок одинаковый 
:
‑ экспериментальное значение критерия Кохрена 
равно
;
‑ табличное значение критерия Кохрена 
, в котором на первом месте стоит число степеней свободы 
максимальной дисперсии, а на втором ‑ число степеней свободы 
, равное числу всех дисперсий при доверительной вероятности, 
выбирается из таблицы приложения 5;
‑ выборочные дисперсии 
с вероятностью однородны, если
;
‑ выборочные дисперсии неоднородны, если
.
3.1.3. Если все выборочные дисперсии однородны, то дисперсия воспроизводимости и ее число степеней свободы рассчитывают по формулам:
;
.
4.Матрица моделирования (ММ) –таблицадля построения однофакторногоортогонализированного уравнения регрессии второго порядка, состоящая из N опытов ( ) с числом дублей n ( 
), включает в себя столбцы 
, 
, значения которых позволяют провести окончательную обработку экспериментальных данных: расчет коэффициентов уравнения регрессии 
и их доверительных интервалов 
, расчёт дисперсии адекватности 
и её числа степеней свободы 
, проверку уравнения регрессии на адекватность, расчет абсолютной ошибки прогнозирования изучаемого параметра. Столбец нормированного фактора 
состоит из элементов 
. Столбец нормированных значений фактора в ММ переносятся из МП.
4.1. Ортогонализирующий коэффициент 
для ортогонализации квадратичного фактора 
рассчитывается по формуле ( – число опытов)
для РСП
4.2. Коэффициенты однофакторногоортогонализированногоуравнения регрессии второго порядка 
, с учётом того, что факторы 
ортогональны, рассчитывают по формулам:
;
.
.
Для расчета коэффициентов , используявспомогательные столбцы ММ 
, 
, 
, рассчитывают суммы 
, 
, 
.
4.3. Проверка коэффициентов однофакторногоортогонализированного уравнения регрессии второго порядка на значимость.Дисперсии значимости коэффициентов однофакторногоортогонализированного уравнении регрессии второго порядка при условии, что факторы ортогональны, рассчитывают по формулам:
;
.
.
4.4. Доверительные интервалы коэффициентов однофакторногоортогонализированного уравнения регрессии второгопорядка рассчитывают по критерию Стьюдента:
;
;
;
где 
– табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы 
и доверительной вероятности выбирается из таблицы приложения 2.
4.5. Коэффициенты однофакторногоортогонализированного уравнения регрессии второго порядка значимы, если выполняются следующие неравенства:
;
;
.
Регрессионный коэффициент, для которого указанное неравенство не выполняется, следует исключить из полученного уравнения регрессии.
4.6. Проверка однофакторногоортогонализированного уравнения регрессии второго порядка на адекватность.
Дисперсия адекватности и её число степеней свободы для однофакторногоортогонализированного уравнения регрессии второго порядка рассчитывают по формулам:
;
;
;
где 
– остаточная сумма квадратов; N – число опытов; n – число дублей в каждом опыте; 
( ) – расчётные значения параметра Y по однофакторномуортогонализированного уравнению регрессии второго порядка 
, в котором только значимые коэффициенты; В – число значимых коэффициентов однофакторного уравнения регрессии второго порядка.
Проверка любогоуравнения регрессии на адекватность сводится к проверке дисперсий на однородность по критерию Фишера: дисперсии воспроизводимости 
, характеризующей точность экспериментального определения параметра Y, и дисперсии адекватности 
, характеризующей точность прогнозирования параметра Y по уравнению регрессии.
‑ экспериментальное значение критерия Фишера 
(отношение большей дисперсии кменьшей)
;
‑ табличное значение критерия Фишера 
, в котором на первом месте стоит число степени свободы 
большей дисперсии, а на втором ‑ число степени свободы 
меньшей дисперсии, при доверительной вероятности и выбирается из таблицы приложения 4;
‑ уравнение регрессии адекватно, если
;
‑ уравнение регрессии неадекватно, если
.
7. Если полученное однофакторноеортогонализированноеуравнение регрессии второго порядка адекватно, то абсолютная погрешность 
для параметра 
, рассчитанного по уравнению регрессии при заданном значении фактора , равна:
,
где – табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы и доверительной вероятности выбирается из таблицы приложения 2.
8. Зависимость параметраYот фактора , описываемаяоднофакторнымортогонализированным уравнением регрессии второгопорядка всегда имеет экстремум: максимумпри 
, или минимумпри 
при некотором значении фактора 
. Необходимое условие максимума (минимума) – равенство нулю первой производной – 
, Продифференцировав однофакторноеортогонализированное уравнение регрессии второго порядка 
по фактору X1 и приравняв к нулю первую производную , получим следующее уравнение для расчета оптимального значения фактора :
,
откуда
.
Соответствующее натуральное значение фактора 
рассчитывается по уравнению
.
Максимум (минимум) параметра 
и предельная абсолютная погрешность 
рассчитываются по уравнениям и
;
.
Типовая задача
Цель: освоить методы моделирования и оптимизации однофакторных технических систем, описываемых стохастическими закономерностями.
Формулировка задачи. Зерно, собранное комбайном, имеет влажность » 30 %. Натоку оно подсыхает до влажности » 20 %. Для долгосрочного хранения на элеваторе зерно должно иметь влажность 14 %. Для сушки зерна до указанной влажности используют специальные сушила, теплоносителем в которых является горячий воздух. Важнейшим параметром, характеризующим эффективность работы сушила, является удельный расход энергии (параметр Y, кВт×ч/т).При прочих равных условиях удельный расход энергии зависит от температуры теплоносителя (фактор х1, °С). Необходимо изучить зависимость удельного расхода энергии Y от температуры теплоносителях1, варьируемого в интервале 
и определить оптимальный режим функционирования сушила.
Математическая формулировка задачи: 1) построить адекватное уравнение регрессии, отражающее зависимость удельного расхода энергии(Y, кВтч/т) от температуры воздуха (х1, °С); 2) рассчитать оптимальное значение фактора х1опт (°С), при котором удельный расход энергии Y будет минимальным.
Решение задачи начнем с построения однофакторного уравнения регрессии второго порядка на базе РСП с числом опытов 
и числом дублей 
. Результаты эксперимента приведены в таблице 1.
Таблица 1. – Экспериментальные данные для РСП
| N | х1j, °С | Yj1, кВтч/т | Yj2, кВтч/т | Yj3, кВтч/т | Yj4, кВтч/т |
| 73,5 | 75,3 | 73,5 | 74,1 | ||
| 60,4 | 60,2 | 63,7 | 61,5 | ||
| 55,4 | 59,0 | 58,8 | 54,8 | ||
| 54,8 | 55,5 | 54,3 | 51,9 | ||
| 59,7 | 62,5 | 57,9 | 57,8 |
План решения задачи
1. Внимательно прочитать условия задачи.
2. Написать формулы взаимосвязи натуральных значений фактора х1 с нормированными Х1.
3. Создать МПдля построенияоднофакторногоортогонализированного уравнения регрессии второго порядка и выполнить предварительную обработку экспериментальных данных.
4. Создать ММдля построения однофакторногоортогонализированногоуравнения регрессии второго порядка и выполнить окончательную обработку экспериментальных данных.
5. В случае адекватности однофакторногоортогонализированного уравнения регрессии второго порядка провести оптимизацию изучаемого объекта: рассчитать оптимальные значения факторов 
и , значение 
, а также абсолютную ошибку 
.
6. По результатам моделирования и оптимизации изучаемой технической системы сделать вывод.
Если вычисления выполняются на калькуляторе,промежуточные расчеты проводить с точностью не менее 4-х значащих цифр.
Решение задачи по плану
1. Пункт 1 выполнить самостоятельно.
2. Уровни и интервал варьирования фактора, а также формулы перевода натуральныхx1 в нормированные X1 и обратно приведены в таблице 2 (см. уравнения – ).
Таблица 2. – Уровни и интервалs варьирования факторовx1 и X1
| Факторы | x1, °С | X1 |
| Верхний уровень | x1 max = 120 | + 1 |
| Нижний уровень | x1 min = 60 | ‑ 1 |
| Основной уровень | x10 = 90 | |
| Интервал варьирования | Dx1 = 30 | ‑ |
| Формулы взаимосвязи натуральных значений фактора x1 с нормированнымиX1 |  ; 
|
3. Создадим МП для построения однофакторного уравнения регрессии второго порядка, которая состоит из столбцов: N, 
, 
, 
(из таблицы 1), 
, (таблица 3).
Рассчитаем нормированные значения фактора (см. уравнение ). Например, для 
;
для 
;
Значения факторов для 
рассчитайте самостоятельно и внесите в таблицу 3..
Таблица 3. МПдля построения однофакторногоортогонализированногоуравнения регрессии второго
порядкана базе РСП с числом опытов 
.Результаты предварительной обработки экспериментальных данных
| N | 
| 
| Yj1, кВтч/т | Yj2, кВтч/т | Yj3, кВтч/т | Yj4, кВтч/т | 
| 
|
| ‑ 1,0 | 73,5 | 75,3 | 73,5 | 74,1 | 74,10 | 0,7200 | ||
| ‑ 0,5 | 60,4 | 60,2 | 63,7 | 61,5 | 61,45 | 2,5767 | ||
| 55,4 | 59,0 | 58,8 | 54,8 | 57,00 | 4,8800 | |||
| 0,5 | 54,8 | 55,5 | 54,3 | 51,9 | 54,13 | 2,4425 | ||
| 1,0 | 59,7 | 62,5 | 57,9 | 57,8 | 59,48 | 4,8292 | ||
| 
|  , 
| 
|
3.1.Методика эксперимента. Для повышения точности эксперимента температура воздуха в сушиле поддерживалась на требуемом уровне с точностью 
. Все остальные факторы (объёмный расход, влажность воздуха и линейная скорость обдува зерна) поддерживались на фиксированных, одинаковых уровнях для всех опытов. Зерно сушилось до влажности 
. Если влажность зерна на выходе из сушила превышала 14 %, то скорость конвейерной ленты уменьшалась, если влажность зерна становилась меньше 14 %, то скорость конвейерной ленты увеличивалась. Каждые 2 ч по счетчику электроэнергии с относительной погрешностью 0,1 % определялась величина электроэнергии, затраченной на работу сушила (энергия на подогрев воздуха, энергия на работу компрессора для обдува зерна, энергия двигателя на движение конвейерной ленты). За тот же период измерялась масса высушенного зерна с относительной погрешностью 0,1 %. Параметр 
при заданной температуре теплоносителя определялся как отношение величины затраченной электроэнергии (кВт×ч) за 2 часа к массе высушенного зерна (т) за этот же период. За смену (8 ч) при заданной температуре теплоносителя параметр определялся 4 раза 
. Полностью изучение зависимости параметра от температуры теплоносителя осуществлялась в течение 5 дней (число опытов ) при температурах 60, 75, 90, 105 и 120 °С.
3.2. Проведем предварительную обработку экспериментальных данных (результаты расчета внесены в таблицу 3):
3.2.1.выборочное среднее в каждом опыте (см. уравнение). Например, выборочное среднее в третьем опыте 
( 
) равно
.
3.2.2. выборочная дисперсия в каждом опыте 
(см. уравнение). Например, выборочная дисперсия в третьем опыте 
( )равна
.
3.2.3. однородность выборочных дисперсий по критерию Кохрена:
‑ экспериментальное значение критерия КохренаGэ (см. уравнения)
;
‑ табличное значение критерия Кохрена при числах степеней свободы 
, 
при доверительной вероятности выбирается из таблицы приложения 5
.
Вывод: выборочные дисперсии однородны, так как 
(см. уравнение).
Так какчисло дублей , то проверку случайных значений каждого опыта на промах и на принадлежность их к нормальному закону распределения проводить не будем (см. пункт 5.3).
3.2.4. Дисперсия воспроизводимости и её число степеней свободы (см. уравнения,)
;
.
4. Создадим ММ для построения однофакторногоортогонализированного уравнения регрессии второго порядка на базе РСП с числом опытов (см. таблицу 3).
4.1. Создадим ММ(таблица 4)для построения однофакторногоортогонализированного уравнения регрессии второго порядка . ММсодержит столбцы 
, 
(см. таблицу3). Ортогонализирующий коэффициент 
(см. уравнение).
Таблица 4. – ММ для построения однофакторного ортогонализированногоуравнения регрессиивторого
порядка на базе РСП с числом опытов . Результаты окончательной обработки экспериментальных данных
| N | X0j | X1j | 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| – 1,0 | 0,50 | 74,10 | 74,10 | – 74,10 | 37,05 | 73,92 | 0,0324 | ||
| – 0,5 | ‑ 0,25 | 61,45 | 61,45 | – 30,725 | ‑ 15,36 | 62,21 | 0,5776 | ||
| ‑ 0,50 | 57,00 | 57,00 | 0,00 | ‑ 28,50 | 55,87 | 1,2769 | |||
| 0,5 | ‑ 0,25 | 54,13 | 54,13 | 27,065 | ‑ 13,53 | 54,90 | 0,5929 | ||
| 1,0 | 0,50 | 59,48 | 59,48 | 59,48 | 29,74 | 59,30 | 0,0324 | ||
| 2,8 | 0,875 | 
| 306,2 | ‑ 18,28 | 9,395 | 
| ||
| 
| 61,24 | ‑ 7,312 | 10,74 |  , 
|
4.2. Рассчитаем коэффициенты однофакторногоортогонализированного уравнения регрессии второго порядка 
(результаты расчета внести в таблицу 4).
Образуем столбцы 
и рассчитаем их суммы:
;
;
.
Рассчитаем суммы квадратов образованных столбцов 
; 
; 
.
4.4. Рассчитаем коэффициенты однофакторногоортогонализированного уравнения регрессии второго порядка (см. уравнения ‑ )
;
;
.
4.5. Проверим коэффициенты однофакторногоортогонализированного уравнения регрессии второго порядка на значимость по критерию Стьюдента:
‑ дисперсии значимости коэффициентов регрессии 
(см. уравнения – )
;
;
;
;
;
;
‑ доверительные интервалы коэффициентов однофакторногоортогонализированного уравнения регрессии второго порядка (см. уравнения – :
;
;
.
где – табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы 
и доверительной вероятности выбирается из таблицы приложения 2
;
‑ регрессионные коэффициента значимы, так как (см. уравнения – )
;
;
Вывод: однофакторноеортогонализированное уравнение регрессии второго порядка, в котором все коэффициенты значимы, имеет вид
.
4.6. Проверим однофакторное ортогонализированноеуравнение регрессиивторогопорядка на адекватность по критерию Фишера:
‑ расчетное значение в каждом опыте определяется по однофакторномуортогонализированному уравнению регрессии второго порядка 
. Например,для
;
‑ образуем столбец 
и рассчитаем его значения. Например, для
;
‑ остаточная сумма квадратов рассчитывается по уравнению
;
‑ дисперсия адекватности и её число степеней свободы (см. уравнения,)
;
;
‑ экспериментальное значение критерия Фишера Fэ (см. уравнение)
, так как 
;
‑ табличное значение критерия Фишера 
, в котором на первом месте стоит число степени свободы 
большей дисперсии, а на втором ‑ число степени свободы 
меньшей дисперсии, при доверительной вероятности выбирается из таблицы приложения 4
.
5. Оптимизация изучаемой технической системы.
5.1. Параметр имеет минимум, так как 
:
‑ оптимальное значение фактора 
(см. уравнение)
.
Оптимальное значение фактора (см. уравнение и данные таблицы 2))
.
‑ минимальное значение параметра Ymin (см. уравнение):
5.2. Абсолютная погрешность параметра , значение которого рассчитывается по однофакторномуортогонализированному уравнению регрессии второго порядка 
, определим по уравнению :
кВт·ч/т.
С учетом полученных значений 
корректно оформим результаты расчета (раздел 1.1, п. 3):
;
;
;
6. Окончательный вывод. Однофакторноеортогонализированное уравнение регрессии второго порядка со значимыми регрессионными коэффициентами
2018-06-29 271 Обсуждений (0)
