Особенности построения моделей технологических объектов управления

  Сложность идентификации технологических процессов во многом зависит от наличия априорной информации о технологических объектах управления, их статических и динамических характеристик. Определение характеристик объекта управления выполняется различными способами, например, могут быть рассмотрены методы, связанные с проведением физичес кого эксперимента над ТОУ, в результате которого будет получен массив экспериментальных данных [u_i , y_i], где u_i – входные переменные, y_i – выходные переменные ТОУ, i – номер опыта. На основе массива экспериментальных данных [u_i , y_i] в дальнейшем строится аналитическая модель посредством полиномиальной аппроксимации (например, с использованием метода наименьших квадратов или сплайнов).

В самом общем случае, связь между входным и «теоретическим» выходным сигналами может быть задана в виде некоторого оператора Ψ. При этом наблюдаемый выходной сигнал объекта может быть описан на основе соотношения:

                                   y ( t ) = Ψ[u ( t )] + e ( t ).                                           

Принцип суперпозиции позволяет объединить все действующие помехи в одну общую e ( t ) и приложить ее к выходу линейной модели. При рассмотрении задач идентификации все помехи считают статически независимыми, что позволяет моделировать их в виде гауссовского процесса (шума).

Перед началом экспериментальных исследований проводят априорный анализ перечня входных переменных с целью отбора и включения в состав модели информативных параметров, т. е. оказывающих наиболее сильное воздействие на выходные переменные y ( t ). В первую очередь в их состав включают управляющие входные переменные, с помощью которых осуществляется регулирующее воздействие на ТОУ.

Если в процессе идентификации структура модели не меняется, то выполняется только оценивание параметров модели (идентификация в узком смысле). Однако можно менять и структуру модели, подбирая наиболее адекватную описываемому процессу. При этом вид модели, ее структура выводится из физических представлений о сути процессов в ТОУ. Например, простейший сглаживающий фильтр (RC-цепь) описывается известными законами электротехники, для него можно записать:

u(t) = RCdy(t)/dt + y(t),

где U_in(t) = u(t), U_out(t) = y(t).

Если такая структура (с точностью до вектора коэффициентов β) известна, то при известном входном сигнале u ( t ) описание объекта можно представить в виде:

y ( t ) = F ( β , t ) + e ( t ),

где F – функция известного вида, зависящая от β и времени t .

Последнее уравнение позволяет после проведения эксперимента, заключающегося в фиксации входного и выходного сигналов на каком-то интервале времени, провести обработку экспериментальных данных и каким-либо методом (например, методом наименьших квадратов) найти оценку вектора параметров β. Отметим, что при экспериментальном определении параметров модели необходимо обеспечить:

● подбор адекватной структуры модели;

● выбор такого входного сигнала, чтобы по результатам эксперимента можно было найти оценки всех параметров модели.

Наиболее просто задача определения параметров решается для линейных объектов, для которых выполняется принцип суперпозиции. В задачах идентификации под линейными объектами чаще понимаются объекты, линейные по входному воздействию.

Как правило, идентификация – многоэтапная процедура, состоящая из этапов:

1. Структурная идентификация, включающая определение структуры математической модели на основании теоретических соображений.

2. Параметрическая идентификация включает в себя процедуру оценивания параметров модели по экспериментальным данным.

3. Проверка адекватности – проверка качества модели в смысле выбранного критерия близости выходов модели и объекта.

Следует отметить, что в связи с многообразием объектов и различных подходов к их моделированию существует множество вариантов решения задачи идентификации.

2. 2. Виды моделей линейных стационарных динамических объектов

Линейные непрерывные стационарные динамические объекты могут быть представлены (без учета действия шума e ( t )) в виде:

Дифференциального уравнения. Наиболее универсальная модель, имеющая форму

где na – порядок модели (na > nb); a_i и b_j – постоянные коэффициенты (параметры модели); u ^{( j )} ( t ) и y ^{( i )} ( t ) – производные, соответственно, входного и выходного сигналов.

Передаточной функции. Модель определяется как отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала

,

где L {●} – символ преобразования Лапласа, р – переменная (оператор Лапласа).

Импульсной характеристики w ( t ) и  переходной функции h ( t ). Импульсная характеристика определяется как реакция объекта на входной сигнал в виде δ-функции. Переходная функция h(t) определяется как реакция объекта на входной сигнал в виде единичного скачка. Соотношения между этими характеристиками имеют следующий вид:

L { w ( t )}= W ( p ), w ( t )= h ^’ ( t ) , L { h ( t )}= W ( p )/ p

При нулевых начальных условиях связь между выходными и входными сигналами описывается интегралом свертки:

                                          ,                                     

или в операторной форме:

                                                 Y ( p ) = W ( p )* U ( p ) .                                   

Частотной характеристики. Частотные характеристики объекта определяются его комплексным коэффициентом передачи W ( jω ). Модуль комплексного коэффициента передачи │W ( jω )│= A ( ω ) представляет собой амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) объекта с передаточной функцией W ( p ), а аргумент arg(W ( jω ))= φ ( ω ) – фазочастотную характеристику (ФЧХ). Графическое представление W ( jω ), на комплексной плоскости при изменении ω от 0 до ∞, то есть график амплитудно-фазовой характеристики (АФХ) в полярных координатах в отечественной литературе называется годографом, а в англоязычной – диаграммой Найквиста. В теории автоматического управления часто используется логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ), равная 20 lg │W ( jω ) │.

В 70-е годы 20 века Розенброком был создан метод «размытых» частотных характеристик, предназначенный для автоматизированного проектирования систем с несколькими входами и выходами, ориентированный на использовании средств вычислительной техники и названный в последствие методом переменных состояния (МПС). В основе этого метода лежит представление дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши, которое дополняется алгебраическими уравнениями, связывающими выходные переменные с переменными состояния:

x’ = Ax + Bu

                             y = Cx,                                                                

где u – вектор входных воздействий; y – вектор выходных воздействий; x – вектор переменных состояния; A, B, C – матрицы коэффициентов размерности n x n , n x m , r x n соответственно; n – число переменных состояния или максимальная степень производной исходного дифференциального уравнения; m – число входов; r  – число выходов.

Математическим аппаратом метода переменных состояния являются матричное исчисление и вычислительные методы линейной алгебры. Метод переменных состояния содействовал значительному развитию теории управления. На языке МПС выполнена большая часть работ по оптимальному управлению, фильтрации и оцениванию.

  Для систем с одним входом и одним выходом уравнения переменных состояния можно сформулировать следующим образом. При выборе n координат системы (объекта) в качестве переменных ее состояния (такими координатами, например, могут быть выходной сигнал y ( t ) и n -1 его производных) принимаем x_i , i = 1,2,…, n и данную систему можно описать следующими уравнениями для переменных состояния:

х ′(t ) = A х( t ) + Bu( t ),

y( t ) = C х( t ) + Du( t ),

где х( t ) = [x ₁ ( t ), x ₂ ( t ),…, x_n ( t ) ]^t – вектор-столбец переменных состояния; A , B , C , и D при скалярных u ( t ) и y ( t ) – соответственно матрица размера n n, векторы размера n 1 и 1  n и скаляр (при векторных u( t ) и y( t ) – матрицы соответствующих размеров).

  Для дискретных объектов, функционирование которых представляется дискретным временем t_k = kT (T – интервал дискретизации), наиболее общим видом описания является разностное уравнение (аналог дифференциального):

y_k +a₁y_k-1 + ... +a_nay_{k – na} = b₁u_k + b₂u_{k – 1} + b₃u_{k - 2} + ... + b_nbu_{k – nb + 1} ,

где y_{k – i} = y[(k – i)T] , u_{k – j} = u[(k – j)T] .

Связь между входом и выходом может быть отражена следующими соотношениями:

• через дискретную свертку:

,

где ω – ординаты решетчатой весовой функции объекта, или, с использованием аппарата Z – преобразования:

, где z = e ^pT

• через дискретную передаточную функцию:

 ,

которая определяется на основании разностного уравнения после применения к обеим частям этого уравнения Z – преобразования:

  На практике в большинстве случаев измерение непрерывных сигналов производится в дискретные моменты времени, что представляет определенное удобство при последующей обработке данных на ЭВМ. Поэтому представление непрерывных объектов дискретными моделями является актуальной задачей. Хотя такое представление может быть осуществлено с некоторой степенью приближенности.