Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь


Оценивание статистических и частотных характеристик исходных данных



2019-12-29 329 Обсуждений (0)
Оценивание статистических и частотных характеристик исходных данных 0.00 из 5.00 0 оценок




  Как уже отмечалось выше, при формировании массива исходных данных с использованием физического эксперимента над техническим объектом управления, воздействующий на объект входной сигнал был представлен случайным процессом с нулевым математическим ожиданием (т. е. центрированный после исключения тренда). Процесс будем считать эргодическим, что необходимо для практических приложений теории случайных процессов т. к. дает возможность по одной достаточно продолжительной реализации случайного процесса судить о его статистических характеристиках. В соответствие с свойствами стационарного эргодического процесса любая статистическая характеристика, полученная усреднением по ансамблю возможных реализаций, с вероятностью сколь угодно близкой к единице, может быть получена усреднением за достаточно большой промежуток времени из одной единственной реализации случайного процесса. Поэтому любая реализация исходных данных может быть использована нами для получения статистических характеристик массивов исходных данных т. к. в ходе планирования и проведения эксперимента сказать заранее, по какой реализации пойдет процесс, невозможно. Для характеристики связи между значениями случайного процесса в различные моменты времени, вводятся понятия корреляционной (автокорреляционной) функциииспектральной плотностислучайного процесса. Корреляционной функцией случайного процесса X(t) называют неслучайную функцию двух аргументов R (t1; t2), которая для каждой пары произвольно выбранных значений моментов времени t1 и t2 равна математическому ожиданию произведения двух случайных величин случайного процесса, соответствующих этим моментам времени.

   Между дисперсией случайного процесса и корреляционной функцией существует прямая связь – дисперсия случайного стационарного процесса равна значению корреляционной функции. Статистические свойства связи двух случайных процессов X (t) и G(t) можно охарактеризовать взаимной корреляционной функцией Rxg (t1, t2). Взаимная корреляционная функция Rxg (τ) характеризует взаимную статистическую связь двух случайных процессов X (t) и G(t) в разные моменты времени, отстоящие друг от друга на промежуток времени τ.

  Если случайные процессы X (t) и G(t) статистически не связаны друг с другом и имеют равные нулю средние значения, то их взаимная том, что если взаимная корреляционная функция равна нулю, то процессы невзаимосвязаны, можно сделать вывод лишь в отдельных случаях (в частности, для процессов с нормальным законом распределения), общей же силы обратный закон не имеет.

   Анализируя свойства корреляционной функции можно сделать вывод: чем слабее взаимосвязь между предыдущим X (t) и последующим X (t + τ) значениями случайного процесса, тем быстрее убывает корреляционная функция Rx (τ). Случайный процесс, в котором отсутствует связь между предыдущими и последующими значениями, называют чистым случайным процессом или белым шумом. В случае белого шума время корреляции τ R = 0 и корреляционная функция представляет собой δ-функцию.

   При исследовании автоматических систем управления удобно пользоваться еще одной характеристикой случайного процесса, называемой спектральной плотностью. Спектральная плотность S x (ω) случайного процесса X (t ) определяется как преобразование Фурье корреляционной функции Rx (τ). Физический смысл спектральной плотности состоит в том, что она характеризует распределения мощности сигнала по частотному спектру.

    В пакете System Identification Toolbox имеется четыре функции cra , etfe , covf , и spa непараметрического оценивания совокупности экспериментальных данных. Функция cra выполняет расчет авто- и взаимных корреляционных функций, оценку импульсной характеристики методом корреляционного анализа для одномерного объекта массива экспериментальных данных. Написание этой функции следующее:

   cra(z);

   [ir,R,cl] = cra(z, M, na, plot);

   cra(R)

Аргументы:

· z – матрица экспериментальных данных вида z = [y2 u2], где y2 - вектор – столбец, соответствующий выходным данным;

· u2 - вектор – столбец, соответствующий входным данным;

· М – максимальное значение дискретного аргумента для которого производится расчет оценки импульсной характеристики (по умолчанию М = 20);

· na – порядок модели авторегрессии (порядок многочлена), которая используется для расчета параметров отбеливающего фильтра (по умолчанию na = 10). При na = 0 в качестве идентифицирующего используется не преобразованный входной сигнал;

· Если plot = 0, то график отсутствует, если plot = 1, то график полученной оценки импульсной характеристики вместе с 99% - м доверительным коридором, если plot = 2, то выводятся графики всех корреляционных функций.

Возвращаемые величины:

ir – оценка (вектор значений) импульсной характеристики; R – матрица, элементы первого столбца которой – значения дискретного аргумента, элементы второго столбца – значения оценки автокорреляционной функции выходного сигнала, элементы третьего столбца – значения оценки автокорреляционной функции входного сигнала, элементы четвертого столбца – значения оценки взаимной корреляционной функции. 

  Для примера сушилки шликера эти величины имеют следующие значения:

М и na приняты по умолчанию [], [].

>> [ir,R,cl]=cra(zdan,[],[],2)

ir =

0.0134

0.1469

0.2256

0.1864

0.0956

0.0634

0.0457

0.0168

0.0066

0.0053

0.0046

0.0029

0.0068

-0.0068

-0.0099

-0.0099

-0.0017

0.0058

0.0150

0.0053

0.0081

R =

-20.0000 0.0011 0.0015 -0.0123

-19.0000 0.0015 -0.0021 -0.0221

-18.0000 0.0017 0.0007 -0.0370

-17.0000 0.0017 0.0069 -0.0287

-16.0000 0.0013   0.0123 0.0080

-15.0000 0.0005 0.0074 0.0289

-14.0000 -0.0003 0.0051 0.0470

-13.0000 -0.0010 0.0092 0.0236

-12.0000 -0.0018 -0.0070 0.0419

-11.0000 -0.0019 0.0064 0.0221

-10.0000 -0.0010 -0.0008 0.0000

-9.0000 -0.0005 0.0004 -0.0054

-8.0000 0.0001 0.0005 0.0018

-7.0000 0.0011 -0.0003 -0.0124

-6.0000 0.0031 0.0001 -0.0299

-5.0000 0.0065 0.0005 -0.0161

-4.0000 0.0110 0.0001 -0.0167

-3.0000 0.0163 -0.0001 0.0021

-2.0000 0.0261 -0.0007 0.0152

-1.0000 0.0393 0.0001 0.0259

    0 0.0479 0.2477 0.0304

1.0000 0.0393 0.0001 0.3341

2.0000 0.0261 -0.0007 0.5129

3.0000 0.0163 -0.0001 0.4239

4.0000 0.0110 0.0001 0.2174

5.0000 0.0065 0.0005 0.1442

6.0000 0.0031 0.0001 0.1040

7.0000 0.0011 -0.0003 0.0382

8.0000 0.0001 0.0005 0.0150

9.0000 -0.0005 0.0004 0.0121

10.0000 -0.0010 -0.0008 0.0105

11.0000 -0.0019 0.0064 0.0066

12.0000 -0.0018 -0.0070 0.0154

13.0000 -0.0010 0.0092 -0.0155

14.0000 -0.0003 0.0051 -0.0225

15.0000 0.0005 0.0074 -0.0224

16.0000 0.0013 0.0123 -0.0038

17.0000 0.0017 0.0069 0.0131

18.0000 0.0017 0.0007 0.0341

19.0000 0.0015 -0.0021 0.0119

20.0000 0.0011 0.0015 0.0185

 

cl =

0.0343

    На рис. 2. 3 приведены результаты расчета автокорреляционной функции выходного сигнала (Covf for filtered y); автокорреляционной функции входного сигнала (Covf for prewhitened u); взаимная корреляционная функция (Correlation from u to y); импульсная характеристика (Impulse response estimate).

в
г
б
а

Рис. 2. 3. Графики функций: а) автокорреляционная функция выходного сигнала; б) автокорреляционная функция входного сигнала; в) взаимная корреляционная функция; г) импульсная характеристика.  

 

 


  Можно получить более подробный график импульсной характеристики, если выполнить функцию cra с одним аргументом zdan (Рис. 2. 4):

>> cra(zdan)

ans =

0.0134

0.1469

0.2256

0.1864

0.0956

0.0634

0.0457

0.0168

0.0066

0.0053

0.0046

0.0029

0.0068

-0.0068

-0.0099

-0.0099

-0.0017

0.0058

0.0150

0.0053

0.0081         

Рис. 2. 4. Импульсная характеристика

 


Необходимо отметить, что на графиках по оси абсцисс откладываются промежутки времени τ = ti  – ti-1, а по оси ординат значения корреляционных функций для входного u 2 и выходного у2 сигналов; значения взаимокорреляционой функции и импульсной характеристики. Из полученных характеристик следует, что с увеличением τ наблюдается резкий спад корреляционной зависимости входного сигнала, что свидетельствует о слабой взаимосвязи между сечениями процесса, соответствующими произвольным моментам времени (процесс более близок к белому шуму, а автокорреляционная функция к дельта-функции). Выходная величина наоборот более плавно изменяет свои состояния от одного момента времени к другому и, следовательно, взаимосвязь между предыдущим и последующим значениями выходного сигнала более тесная, чем у входного.

   Для получения частотных характеристик экспериментальных данных воспользуемся функциями оценивания частотных характеристик. Функция spa возвращает частотные характеристики одномерного объекта и оценки спектральной плотности его сигналов для обобщенной линейной модели объекта:

[g, phiv] = spa(z)

[g, phiv, z_spe] = spa(z,M,w,maxsize,T)

Аргументы:

· z – матрица исходных данных;

· М – ширина временного окна (по умолчанию М = min(30, length(z) /10), где length(z) – число строк матрицы z);

· w – вектор частот для расчета частотных характеристик (по умолчанию         [1: 128]/128*pi/T);

· Т – интервал дискретизации;

· maxsize – параметр, определяющий максимальный размер матриц, создаваемых в процессе вычислений.

Возвращаемые величины:

· g – оценка W(e jωT) в частотном формате;

· phiv – оценка спектральной плотности шума v(t);

· z_spe – матрица спектральных плотностей входного и выходного сигналов.

Построим диаграмму Боде (АЧХ, ФЧХ), используя функции spa и bodeplot и данные, полученные при изучении теплового объекта, и содержащиеся в файле dryer2

>> load project24;

                                                  >> z=[y2 u2];

                                                   >> g=spa(z);

>> bodeplot(g)

Результаты моделирования (АЧХ построена в логарифмическом масштабе) без доверительного коридора представлены на рис. 2. 5.

        

Рис. 2. 5. Частотные характеристики технического объекта управления


  Полученные зависимости подтверждают высокочастотную составляющую значений входного и выходного сигналов. Границы изменения частот на графиках установлены по умолчанию.

Для получения частотных характеристик вместе с доверительным коридором шириной в три среднеквадратических отклонения в пакете System Identification Toolbox MATLAB имеется следующие возможности:

· установка границ изменения частот с помощью команды

>> w=logspace(w1,w2,N),

где w1 – нижняя граница диапазона частот (10w1), w2 – верхняя граница диапазона частот (10w2) и N – количество точек графика.

· построение АФХ, ФЧХ и S(ω) – функции спектральной плотности шума e( t )

· вычисление g – оценки АФХ и ФЧХ в частотном формате и phiv – оценки спектральной плотности шума с помощью команды

>> [g,phiv]=spa(z,[],w);

Графики АФХ, ФЧХ и S(ω) строятся с доверительным коридором в три среднеквадратических отклонения с помощью команды

>> bodeplot([g p],'sd',3,'fill'),

где 'sd' – указывает на сплошную линию доверительного коридора (по умолчанию эта линия штриховая); 3 – величина доверительного коридора в три среднеквадратических отклонения; 'fill' – способ заливки доверительного коридора (желтым цветом).

  Построим АЧХ, ФЧХ, используя функции spa, bodeplot, logspace и данные, полученные в файле Project24 с соответствующим доверительным коридором:

   >> w = logspace(-2,pi,128);

>> [g,phiv]=spa(z,[],w);

>> bodeplot([g,phiv],3,'fill')

      Результаты моделирования представлены на рис. 2. 6.

Рис. 2.6. Оценки АЧХ и ФЧХ вместе с доверительным коридором.


Для построения графика оценки спектральной плотности шума с доверительным коридором выполним следующую команду:

>> bodeplot([phiv],'sd',3,'fill')

  Результаты моделирования представлены на рис. 2. 7.

Рис.2. 7. График оценки S( ω) вместе с доверительным коридором

  Полученный график оценки спектральной плотности шума с доверительным коридором показывает наличие равномерного распределения мощности сигнала по частотному спектру с последующим спадом мощности на частоте выше 1, 1 рад/с.

   Далее необходимо выполнить параметрическое оценивание ТОУ.



2019-12-29 329 Обсуждений (0)
Оценивание статистических и частотных характеристик исходных данных 0.00 из 5.00 0 оценок









Обсуждение в статье: Оценивание статистических и частотных характеристик исходных данных

Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓

Отправить сообщение

Популярное:
Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной...
Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе...
Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (329)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.007 сек.)