Способы построения кривых постоянной ширины

Кривые постоянной ширины

(математика)

Автор: Лашманов Владимир,
6 класс, МОУ лицей №102
Научный руководитель:
Зарембо Надежда Ивановна, учитель математики I категории, МОУ лицей №102

Челябинск

2008

Содержание

Введение

Выбрать эту тему меня заставило любопытство. На уроках труда, вытачивая круглые отверстия, я задался вопросом какой инструмент используют для того, чтобы отверстие было квадратным. Сразу понял, что очень трудно даже представить такой инструмент. Я прочитал много литературы. Оказалось, что для сверления квадратных отверстий был изобретен в 1914 году английским инженером Джеймсом Уаттсом инструмент. «Мы все слыхали о гаечных ключах, приспособленных для гаек с левой резьбой, завязанных в узел водопроводных трубах и бананах из чугуна, - было написано в одной из рекламных листовок этой фирмы. – Мы считали подобные вещи смешными безделушками и отказывались даже верить, что они когда-нибудь встретятся нам в действительности. И вдруг появляется инструмент, позволяющий сверлить квадратные отверстия!»

В основе этого инструмента была использована кривая постоянной ширины.

В данной работе я привожу способы построения кривых постоянной ширины, свойство кривых постоянной ширины,

Глава 1. Кривые постоянной ширины

Сверло Уаттса

Сверло Уаттса изображено на рис. 1 ( Приложение 1). Справа показано поперечное сечение сверла внутри квадратного отверстия.

Как видно из рисунка 1, сверло Уаттса представляет собой просто-напросто «скругленный» треугольник, в котором прорезаны углубления для отвода стружки и заточены режущие кромки. Когда треугольник вращается, его центр не стоит на месте, поэтому патрон для зажима сверла Уаттса не должен препятствовать этому движению. Этот треугольник - простейшая кривая постоянной ширины, отличная от окружности, называется треугольником Рело в честь математика и инженера Франца Рело (1829 - 1905), преподававшего в Берлинской королевской высшей технической школе.

Треугольник Рело.

Сама по себе эта кривая была известна математикам и до Рело, но именно он впервые доказал ее удивительное свойство – постоянство ширины. Построить треугольник Рело нетрудно. Прежде всего нужно начертить равносторонний треугольник АВС (рис.2, Приложение 1), затем провести дугу окружности с центром в точке А, соединяющую вершины В и С, и проделать аналогичную операцию, выбрав центры окружностей в вершинах В и С. Полученный «искривленный треугольник» (как называл эту фигуру Рело), очевидно, обладает постоянной шириной, равной длине стороны прямолинейного треугольника АВС.

    Если кривая постоянной ширины ограничена двумя парами параллельных прямых и одна пара пересекается с другой под прямым углом, то кривая постоянной ширины с необходимостью должна быть вписана в квадрат. Подобно окружности или любой другой кривой постоянной ширины, треугольник Рело может вращаться в квадрате, плотно прилегая к сторонам последнего, то есть все время касаясь всех четырех сторон квадрата (рис. 3, Приложение 1). В этом можно убедиться, вырезав треугольник Рело из картона и вставив его в квадратное отверстие надлежащих размеров.

    При вращении треугольника Рело внутри квадрата каждая из вершин треугольника проходит почти весь периметр квадрата. Небольшие отклонения имеются лишь вблизи вершин квадрата: углы получаются слегка закругленными.

Примеры других кривых постоянной ширины (рис. 4,5, Приложение 2).

Способы построения кривых постоянной ширины

Существуют способы, позволяющие строить несимметричные кривые постоянной ширины.

3.1. Метод звездчатого многоугольника

Нужно взять звездчатый многоугольник с нечетным числом вершин, образованный отрезками прямых равной длины. Поставив ножку циркуля в каждую вершину, проведем дугу окружности, соединяющую две противоположные вершины. Поскольку все дуги имеют одинаковый радиус, получившаяся кривая будет кривой постоянной ширины. Ее углы можно закруглить, воспользовавшись следующим способом: продолжить стороны звездчатого многоугольника на одно и то же расстояние и соединить концы продолженных отрезков дугами окружностей с центрами в вершинах звезды (рис. 6, Приложение 2).

3.2. Метод пересекающихся прямых

Проведите любое число пересекающихся прямых, затем, ставя по очереди ножку циркуля во все точки пересечения, соединяйте каждый раз дугой окружности те две прямые, которые пересекаются в выбранной вами точке. Начать можно с любой точки, а затем продолжать вычерчивание кривой, сопрягая очередную дугу с предыдущей. Если вы провели все дуги достаточно аккуратно, кривая должна замкнуться, и вы получите еще одну разновидность кривых постоянной ширины (рис.7, Приложение 2).

Все построенные нами кривые постоянной ширины были образованы дугами окружностей лишь двух различных радиусов, но с тем же успехом можно было бы строить кривые постоянной ширины из дуг любого наперед заданного числа окружностей.

Более того, кривая постоянной ширины может вообще не состоять из дуг окружности.

3.3. Построение «кривобоких» кривых постоянной ширины

Возьмем квадрат и проведем произвольную кривую, соединяющую его верхнее основание с нижним и касающуюся левой стороны (кривая АВС на рис.8, Приложение 2).

 Эта кривая будет левой частью некоторой однозначно определенной кривой постоянной ширины. Чтобы построить недостающую правую часть, проведем множество прямых, каждая из которых параллельна одной из касательных к дуге АВС и отстоит от нее на расстояние, равное длине стороны квадрата. Построить такие кривые нетрудно, если воспользоваться обеими сторонами линейки (исходный квадрат следует выбирать таких размеров, чтобы его сторона была равна ширине линейки). Наложив линейку так, чтобы одна из ее сторон касалась дуги АВС, проведите прямую вдоль ее другой стороны.

Проделайте эту операцию в как можно большем числе точек дуги АВС. Огибающая к проведенным прямым и будет недостающей правой частью кривой постоянной ширины.