Показательные и логарифмические неравенства с параметрами
Пример. Найти все значения параметра , при которых неравенство выполняется для всех действительных значений . Решение. Исходное неравенство равносильно следующей совокупности двух систем:
В системе (1) параметр , поэтому коэффициент , стоящий при в левой части последнего неравенства, положителен, следовательно, последнее неравенство системы (1) равносильно неравенству которое не может выполняться при всех действительных значениях при любом фиксированном значении параметра . Таким образом, система (1) не дает искомых значений параметра. В системе (2) из первого неравенства ( ) так же, как и раньше, вытекает, что , следовательно, второе неравенство равносильно неравенству , которое, очевидно, выполняется для всех действительных тогда и только тогда, когда
С учетом того, что , получаем Ответ:
Производная и ее применения Пример.Найти все значения параметра , при которых функция имеет хотя бы один экстремум строго между числами и . Решение. Для вычисления экстремумов функции найдем её производную: откуда следует, что в точках экстремума, то есть при , значение параметра , так как . Поэтому интервал , на котором, согласно условию задачи, надо искать экстремум, целиком расположен справа от точки 0. Дальнейшее решение задачи изложим двумя способами.
I- ый способ. Рассмотрим квадратный трехчлен с абсциссой вершины и дискриминантом , положительность которого следует из того, что Если абсцисса вершины параболы, являющейся графиком функции , расположена левее интервала , то есть величина , то значения и должны быть разных знаков, причем - отрицательно:
откуда следует, что Если лежит строго между и , то либо , либо должно быть положительно: Если лежит правее интервала , то есть , то значения и должны быть разных знаков, причем - положительно: Объединяя найденные значения параметра в рассмотренных трех случаях , получает ответ: .
II – й способ. Как мы уже получили ранее, в точках экстремума, то есть при имеем . В плоскости нарисуем график функции . Точки экстремума будем искать на интервале , то есть при что соответствует внутренним точкам острого угла, ограниченного прямыми и , и находящегося в первой четверти. Найдем точки пересечения прямых и с параболой . Решая квадратные уравнения, получаем: Так как производная при и при , то исходная функция является возрастающей в области , расположенной ниже параболы , и убывающей в области, расположенной выше этой параболы; в точках параболы функция имеет экстремум (в силу того, что выполнено достаточное условие экстремума – смена знака производной). Левая ветвь параболы пересекается с прямыми и в точках и соответственно. Все точки параболы, расположенные строго между этими точками пересечения, отвечают точкам экстремума функции , соответствующим искомым значениям параметра : (проекция на ось указанного участка левой ветви параболы ). Правая ветвь параболы пересекается с прямыми и в точках и соответственно. Все точки параболы, расположенные строго между этими точками пересечения, отвечают точкам экстремума функции , соответствующим искомым значениям параметра : (проекция на ось указанного участка правой ветви параболы ). Объединяя найденные выше интервалы и значений параметра , получаем ответ. Ответ: .
Заключение
Введение элективного курса «Решение задач с параметрами» необходимо учащимся в наше время как при подготовке к ЕГЭ, так и к вступительным экзаменам в ВУЗы. Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики. Даже если бы эти задачи не предлагались на выпускных и вступительных экзаменах, то все равно в школьной математике задачам с параметрами должно уделяться большое внимание. В этом автор данного реферата глубоко убеждена: ведь известно, какую роль играют данные задачи в формировании логического мышления и математической культуры у школьников. Поэтому учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются (и опыт это подтверждает) с другими задачами. Решение задач, уравнений с параметрами открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале. При решении задач с параметрами одновременно активно реализуются основные методические принципы: принцип параллельности – следует постоянно держать в поле зрения несколько тем, постепенно продвигаясь по ним вперед и вглубь; принцип вариативности – рассматриваются различные приемы и методы решения с различных точек зрения: стандартность и оригинальность, объем вычислительной и исследовательской работы; принцип самоконтроля – невозможность подстроиться под ответ вынуждает делать регулярный и систематический анализ своих ошибок и неудач; принцип регулярности – увлеченные математикой дети с удовольствием дома индивидуально исследуют задачи, т. е. занятия математикой становятся регулярными, а не от случая к случаю на уроках. Разработанный элективный курс может быть использован учителями математики при подготовке к ЕГЭ, вступительным экзаменам в ВУЗы, на занятиях математического кружка. В нем систематизирован теоретический и дидактический материал, отвечающий принципу последовательного нарастания сложности.
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (288)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |