Характеры Дирихле и L -функции Дирихле

Содержание

 

Введение

§1. Характеры Дирихле и L-функции Дирихле

§2. Функция θ(x ,χ), её функциональное уравнение

§3. Аналитическое продолжение L-функции Дирихле на комплексную плоскость

§4. Функциональное уравнение для L-функции Дирихле. Тривиальные нули L-функции Дирихле

§5. Нетривиальные нули L-функции Дирихле

5.1 Теорема Вейерштрасса о разложении в произведение целых функций

5.2 О бесконечности целых нетривиальных нулей L-функции Дирихле 12

§6. Обобщенная гипотеза Римана

Библиографический список

Введение

Теория L-функций Дирихле развилась в одно из важнейших вспомогательных средств аналитической теории чисел. Большую роль в приложениях играет исследование нулей L-функций Дирихле.

В аналитической теории чисел L-функция Дирихле играет такую же роль, как и ζ-функция при решении задач теории чисел, а именно задач, связанных с распределением простых чисел в арифметических прогрессиях и в задачах, связанных с оценками арифметических сумм.

Предметом исследования данной курсовой работы является распределение значений L-функций Дирихле, результаты Гурвица о выводе функционального уравнения для L-функции Дирихле и как следствие, показать, что L-функции Дирихле в критической полосе имеют бесконечное число нулей. Эти функции ввел в 1837 г. Густав Дирихле при исследовании вопроса о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях. Основные результаты были получены в 1922 году А. Гурвицем.

В данной курсовой работе изложение материала отражает основные свойства L-функций Дирихле и соответствует результатам, полеченным Гурвицем касающимся L-функций Дирихле.

В заключении данной работы приводится гипотеза о распределении нулей дзета-функции, сформулированная Бернхардом Риманом в 1859 году. Гипотеза Римана входит в список семи «проблем тысячелетия».

 

Характеры Дирихле и L -функции Дирихле

 

Прежде всего определим характеры по модулю k, равному степени простого числа, и докажем их основные свойства. Характеры по произвольному модулю к определим затем через характеры по модулю, равному степени простого числа; при этом основные свойства последних сохранятся.

Пусть k=р^а, где р> 2 — простое число, α≥1. Как известно, по модулю k существуют первообразные корни, и пусть g — наименьший из них. Через ind n будем обозначать индекс числа п, (п, к) = 1, по модулю kпри основании g, т. е. число γ = γ(п) = ind n такое, что

 

(mod k).

 

Определение 1.1. Характером по модулю k= р^а, р>2 — простое, α≥ 1, называется конечнозначная мультипликативная периодическая функция χ(n), областью определения которой является множество целых чисел п, и такая, что

 

 

где т — целое число.

 

Из определения характера видно, что функция зависит от параметра т, является периодической по т с периодом φ(k), т. е. существует, вообще говоря, φ(k) характеров по модулю k, которые получаются, если брать т равным 0, 1, ..., φ(k) - 1.

Пусть теперь k = 2^α, α≥ 3. Как известно, для любого нечетного числа п существует система индексов γ₀ = γ₀(п) и γ₁ = γ₁(n) по модулю k, т. е. такие числа γ₀ и γ₁ , что

 

 

Таким образом, числа γ₀ и γ₁ определяются с точностью до слагаемых, кратных соответственно 2 и 2^α-2.

Определение 1.2. Характером по модулю к = ^2α, α≥1, называется функция  областью определения которой является множество целых чисел п, определенная одной из следующих формул:

 

 

Где m₀ , m₁ целые числа.

Из определения 1.2. видно, что функция  зависит от параметров т₀ и m₁является периодической по m₀ и m₁, с периодами соответственно 2 и 2^α-2 т. е. существует, вообще говоря, φ(k), =< φ(k^α) характеров по модулю k = 2^α, которые получаются, если брать m₀ , равным 0, 1, а m₁ равным 0, 1, ..., 2^α-2 - 1.

Ввиду того, что индекс числа или система индексов числа периодические с периодом, равным модулю функции, аддитивные, т. е. индекс произведения (соответственно система индексов произведения) равняется сумме индексов сомножителей (соответственно сумме систем индексов сомножителей), получаем следующие свойства характера χ (п):

1.  по модулю k— периодическая с периодом k функция, т. е.

 

;

 

2. —мультипликативная функция, т. е.

Очевидно также, что

 

χ(1) = 1.

 

L-ряды Дирихле — функции комплексного переменного, подобные дзета-функции Римана, введены Дирихле при исследовании вопроса о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях. Везде ниже под L-рядом будем понимать L-ряд Дирихле.

Пусть k — натуральное число и χ — какой-либо характер по модулю k.

Определение 1.3. L-функцией называется ряд Дирихле вида:

 

 

Ввиду того, что|χ(n)|≤1, следует аналитичность L(s, χ) в полуплоскости Re s>l. Для L(s, χ) имеет место аналог формулы Эйлера (эйлеровское произведение).

Лемма 1.1. При Re s > 1 справедливо равенство

 

 

Доказательство. При X > 1 рассмотрим функцию

 

 

Так как Re s > 1, то

 

следовательно,

 

 

(воспользовались мультипликативностью χ(n) и однозначностью разложения натуральных чисел на простые сомножители). Далее,

 

 

где σ=Re s>l. Переходя в (2) к пределу Х→+∞, получим утверждение леммы.

Из (1) находим

 

 

т. е. L(s, χ)≠0 при Re s>l. Если характер χ по модулю k является главным, то L(s, χ) лишь простым множителем отличается от дзета-функции ζ(s).

Лемма 1.2. Пусть χ(n) = χ ₀(n) по модулю k. Тогда при Re s> 1

 

Доказательство леммы следует из (6) и определения главного характера χ₀(n).

Следствие. L(s, χ) — аналитическая функция во всей s-плоскости, за исключением точки s = 1, где она имеет простой полюс с вычетом, равным

 

 

Если характер χ(n) является производным, a χ₁(n) — примитивный характер по модулю k₁, k_t\k, отвечающий χ(n), то L(s, χ)лишь простым множителем отличается от L(s, χ₁).

Лемма 1.3. Пусть χ₁— примитивный характер по модулю k₁ и χ — индуцированный χ₁ производный характер по модулю k, k_t ≠ k. Тогда при Re s > 1

 

Доказательство леммы следует из (1) и свойств χ₁ и χ.

Функцию L(s, χ) можно продолжить в полуплоскость Re s > 1

Лемма 1.4. Пусть χ≠χ₀, тогда при Re s>0 справедливо равенство

 

 

Где

 

 

Доказательство. Пусть N ≥1, Re s>l. Применяя преобразование Абеля, будем иметь

 

 

Где

 

 

Переходя к пределу N → +∞, получим (8) при Re s>l. Но |S(x)|≤φ(k); поэтому интеграл в (3) сходится в полуплоскости Re s > 0 и определяет там аналитическую функцию, что и требовалось доказать.

§2. Функция θ( x ,χ), её функциональное уравнение

 

Функциональное уравнение будет получено для L(s, χ)с примитивным характером χ; тем самым и в силу леммы 3 L(s, χ) будет продолжена на всю s-плоскость при любом χ. Вид функционального уравнения зависит от того, четным или нечетным является характер χ, т. е. χ(-1)=+1 или χ(-1)=–1

Прежде чем вывести функциональное уравнение для L(s, χ) и продолжить L(s, χ) на всю s-плоскость, докажем вспомогательное утверждение, аналогичное функциональному уравнению для θ(х) (см. лемму 3, IV).

Лемма 2.1. Пусть χ — примитивный характер по модулю k. Для четного характера χ определим функцию θ (x, χ) равенством

 

 

а для нечетного характера х определим функцию θ₁(x, χ) равенством

 

 

Тогда для введенных функций θ (x, χ) и θ₁(x, χ) справедливы следующие соотношения (функциональные уравнения):

 

 

где τ(χ) — сумма Гаусса.

Доказательство. Воспользуемся доказанным в лемме 3, IV равенством

 

 

где x > 0, α — вещественное.

Имеем

 

 

что доказывает равенство (6).

Чтобы доказать равенство (7), продифференцируем почленно (8) и заменим x на х/к, α на m/k (указанные ряды можно почленно дифференцировать, так как получающиеся после этого ряды равномерно сходятся). Получим

 

 

Отсюда, как и выше, выводим

 

 

Лемма доказана.