Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь  


Теорема Вейерштрасса о разложении в произведение целых функций




 

Теорема 5.1. Пусть a1, ..., ап, ... — бесконечная последовательность комплексных чисел, причем

 

0< |a1| ≤ |a1| ≤...≤|аn|<...

И lim  = 0.

 

Тогда существует целая функция G(s), которая имеет своими нулями только числа ап (если среди ап есть равные, то нуль G(s) будет иметь соответствующую кратность).

Следствие 5.1. Пусть последовательность чисел a1, ..., ап, ... удовлетворяет условиям теоремы 5.1., и, кроме того, существует целое число р > 0 такое, что сходится ряд

 


 

Тогда функция G1(s),

 

 

удовлетворяет теореме5. 1.

Теорема 5.2. Каждая целая функция G(s) может быть представлена в виде

 

 

где H(s) — целая функция, а числа 0, a1 ,a2, ..., а…,-— нули G(s), расположенные в порядке возрастания их модулей. Если, кроме того, последовательность аn , п = 1,2,..., удовлетворяет условиям следствия 5.1., то

 

 

Доказательство. Нули G(s) не могут иметь предельной точки, т. е. их можно расположить в порядке возрастания модулей. По теореме 5.1. построим целую функцию G1 (s), имеющую своими нулями нули G(s). Полагая

 

 при s≠an,

 

видим, что φ(s) — целая функция, нигде не равная нулю, т. е. и логарифм φ(s) — целая функция. Но тогда φ(s) = eH(s), где H(s) — целая функция. Так же доказывается второе утверждение теоремы. Теорема доказана.



Теорема 5.3. Пусть G(s)— целая функция конечного порядка α и G(0)≠0, sn — последовательность всех нулей G(s), причем 0 < |s1| ≤ |s2| ≤ ... ≤|sn|≤ ... Тогда последовательность sn имеет конечный показатель сходимости β≤α,

 

 

Где p≥0— наименьшее целое число, для которого

 

 

g(s)— многочлен степени g ≤α и α = max (g, β) Если, кроме того, для любого с > 0 найдется бесконечная последовательность r1, r2, ..., rn, ..., rn  +∞, такая, что

 

max |G(s)|> , |s| = rn , n = 1, 2, …,

то α=β и ряд  расходится.

 

О бесконечности целых нетривиальных нулей L -функции Дирихле

 

Из следствия к теореме 4.1 видно, что функция L(s, χ), χ — примитивный характер, имеет в полуплоскости Re s < 0 лишь действительные нули; эти нули являются полюсами  или  называются тривиальными; тривиальным также называется нуль s = 0. Кроме тривиальных функция L(s, χ) имеет подобно дзета-функции бесконечно много нетривиальных нулей, лежащих в полосе (критическая полоса) 0 ≤ Re s ≤ 1.

Теорема 5.1. Пусть χ — примитивный характер. Тогда функция ξ(s, χ) является целой функцией первого порядка, имеющей бесконечно много нулей ρn таких, что 0≤Re ρn ≤ 1, ρn ≠0, причем ряд расходится, а ряд

 

 

сходится при любом ε > 0. Нули ξ(s, χ) являются нетривиальными нулями L(s, χ).

Доказательство. При Re ≥1/2

 

 

Последняя оценка |ξ(s, χ)| в силу функционального уравнения (9) из §4 и равенства

 

 

справедлива также при Re s<l/2; кроме того ξ(0, χ)≠ 0. Поскольку In Г(s) ~ s ln s при s -> +∞, по теореме 5.3 получаем первое утверждение теоремы. Так как L(s, χ)≠0 при Re s>l, то из


 

 

следует, что ξ(s, χ) ≠0 при Re s < 0, т. о. нули ξ(s, χ) являются нетривиальными нулями L(s, χ),лежащими в полосе 0≤Re s≤l. Теорема доказана.

Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой



Читайте также:
Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас...
Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (122)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.01 сек.)
Поможем в написании
> Курсовые, контрольные, дипломные и другие работы со скидкой до 25%
3 569 лучших специалисов, готовы оказать помощь 24/7