Транспонирование матрицы, умножение матриц).

Данной теме посвящены §2,3 главы 1, где изложен теоретический материал и разработаны примеры.

Пример 1. Найти сумму двух матриц А и В, где

.

Операция сложения двух матриц определена, только если обе матрицы – слагаемые имеют одинаковый порядок. В данном случае матрицы А и В одинакового порядка. Порядок матрицы – это пара чисел, первое из которых m равно числу строк матрицы, а второе n – числу ее столбцов. Матрицы А и В имеют порядок 2^.4(m=2, n=4).

Матрицы А и В можно сложить. Суммой А+В будет матрица того же порядка, что слагаемые, обозначим ее С.

Элементы с_ij(i = 1,2; j = 1,2,3,4) получаются как суммы элементов матрицы А и В с одинаковыми индексами с_ij = а_ij + b_ij , i = 1,2; j = 1,2,3,4.

Итак, имеем .

Пример 2. Даны матрицы А и В. Найти матрицу С = 2А + В.

.

Заметим, что наши матрицы – квадратные (число строк равно числу столбцов, это общее число 3 и есть порядок наших матриц). Матрицы А и В – треугольные, у матрицы А под главной диагональю все элементы нулевые. Это свойство матриц исчезнет при их сложении. Чтобы получить матрицу 2А, следует все элементы А умножить на 2.

.

Пример 3. Найти произведение матриц АВ = С, где

.

Для умножения двух матриц их порядки должны быть «согласованы», а именно, число столбцов в первом множителе (матрица А) равно числу строк второго множителя В. В нашем случае обе матрицы квадратные и имеют одинаковый порядок 2. Значит, умножение АВ определено.

Произведение С=АВ будет квадратной матрицей того же порядка. Обозначим ее элементы с_ik, i = 1,2; k = 1,2.

Чтобы получить с₁₁ следует в матрице А выделить первую строку, а в матрице В выделить первый столбец и вычислить их скалярное произведение с₁₁ = 2^.0+0^.0=0. Теперь вычислим с₁₂ , для этого выделим в А снова первую строку, а в В – второй столбец, перемножим их соответствующие элементы и сложим.

Далее, , элемент с₂₂ получается при умножении второй строки А и второго столбца В.

с₂₂ = 2^.2+(-1)^.(-1) = 5.

Запишем теперь матрицу .

Пример 4. Пусть А и В – матрицы из примера 6. Вычислить произведение ВА=Д, проверить, будут ли матрицы А и В перестановочны.

.

Выпишем формулы для вычисления элементов i = 1,2; j = 1,2 матрицы Д:

d₁₁ = a₁₁b₁₁ + b₁₂a₂₁, d₁₂ = b₁₁a₁₂ + b₁₂a₂₂,

d₂₁ = b₂₁a₁₁ + b₂₂a₂₁, d₂₂ = b₂₁a₁₂ + b₂₂a₂₂.

Подставим в эти формулы числовые значения

d₁₁ = 4, d₁₂ = -2, d₂₂ = 1, и матрица D=ВА имеет вид

Очевидно, АВ ¹ ВА, т.е. от перестановки сомножителей произведение изменилось, т.е. матрицы А и В не перестановочны.

Пример 5. Найти произведение С матрицы А на вектор – столбец .

.

Умножение возможно, т.к. вектор  можно рассматривать как матрицу, имеющую 3 строки и 1 столбец, а матрица А имеет 3 столбца, и число ее столбцов равно числу строк вектора . Произведение С = А  будет иметь порядок 4^.1, т.е. будет вектором-столбцом с элементами с₁₁, с₂₁, с₃₁, с_41.

с₁₁ = 1^.4-1^.2+0 = 2; с₂₁ = 0^.4+2^.2-4^.1 = 0;

с₃₁ = 4+2 = 6;         с₄₁ = -4+4 = 0.

.

Таким образом, если умножение возможно, то произведение матрицы на вектор будет вектором.