Примеры решения задач на вычисление определителей.

 

Теория изложена в главе 2 §1.

Пример 1. Вычислить определитель .

 

Вычислим по правилу Саррюса

 

D = 1(-1) ^. (-5)+(-2)(-4)0+4(-3)3-0(-1)3-4(-2)(-5)-(-3)(-4)1=5+0-36+0-40-12=-83.

 

Пример 2. Вычислить определитель примера 1 разложением по первой строке.

Найдем алгебраические дополнения.

 

 

D = 1^. (-7)+(-2)20+3(-12)=-7-40-36=-83.

 

Пример 3. Вычислить определитель 4^го порядка.

 

 

.

 

Найдем алгебраические дополнения А₁₂, А₁₃

 

D = 0.

 

Примеры решения задач на вычисление обратной матрицы.

 

Теория изложена в главе 3.

 

Пример 1. Найти обратную к матрице

 

 

Вычислим алгебраические дополнения всех элементов данной матрицы

 

А₁₁ = +(-4)=-4 А₂₁ = -(-2)=2

А₁₂ = -3          А₂₂ = +1

 

Найдем определитель D = (А) = 1(-4)-3(-2)=-4+6=2

 

 

Проверка

 

.

 

Пример 2. Найти обратную к матрице

 

 

 

D(А) = -2

 

 

Проверка

 

.

Перечень умений.

№ п/п	Умение	Алгоритмы
1	Линейные операции над матрицами. Вычисление С=aА+bВ, где a,b - числа, А,В – заданные матрицы.	1. Определить, имеют ли матрицы А и В одинаковый порядок. Если «да», то перейти к п.2, в противном случае вычислит С нельзя. 2. Умножить все элементы матрицы А на число a   aА = (aаij)m,n   3. Умножить все элементы матрицы В на число b   bВ = (bbij)m,n   4. Вычислить элементы матрицы С по формулам:   сij = aаij + bbij , i = 1,2, …m, j = 1,2…n
2	Умножение матриц. Вычисление произведения матрицы А на В. С = АВ	1. Проверить, совпадает ли число столбцов матрицы А = (аij)m,n с числом строк матрицы В = (bij)n,k («согласованы» ли порядки множителей). Только в этом случае можно умножить А на В. В противном случае вычислить С нельзя. 2. Определить порядок матрицы произведения6 С = (сij)m,k имеет порядок mxk, где m – число строк первого множителя А, k – число столбцов второго множителя В. 3. Вычислить каждый элемент матрицы произведения С по формулам: сij = аi1b1j + аi2b2j + … + аinbnj i = 1,2, …m, j = 1,2…n.  4. Выписать полученную матрицу С.
3	Вычисление определителей 3го порядка по правилу Саррюса	1. По схеме Саррюса составить произведение трех элементов определителя, взяв по одному из строки и столбца. 2. Вычислить определитель, подсчитав сумму полученных произведений, взяв эти произведения с соответствующим знаком.
4	Вычисление определителей разложением по первой строке	1. Найти миноры Mij элементов первой строки вычеркивая последовательно элементы первой строки и j-ый столбец (j = 1,2 …,n), составляя из оставшихся элементов определители. 2. Найти алгебраические дополнения элементов первой строки А1j = (-1)1 + jMij 3. Вычислить определитель 4. D = а11А11 + а12А12 +…+ а1nА1n

 

5

Вычисление обратной матрицы

1. Найти алгебраические дополнения элементов матрицы Аij = (-1)i + jMij 2. Вычислить определитель матрицы D(А) 3. Найти обратную матрицу

 

Тренинг умений.

Пример выполнения упражнения тренинга на умение 1.

Задание

       Вычислить матрицу С = 5А – В, где

 

.

 

Решение.

 

       Предварительно заполните таблицу, подобрав к каждому алгоритму конкретное соответствие из данного задания.

№	Алгоритм	Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму
1	Определить, имеют ли матрицы А и В одинаковый порядок. Если «да», перейти к п.2, в противном случае вычислить С = 5А – В нельзя	Обе матрицы имеют порядок 2.3 (на первом месте число строк, на втором – число столбцов). Матрицы одного порядка, переходим к п.2.
2	Умножить все элементы А на число 5
3	Умножить все элементы В на (-1)
4	Вычислить элементы матрицы С: сij = 5аij – вij

 

Решите самостоятельно следующие задачи:

Задача 1.

 

Даны матрицы А и В. Найти С = 2А + 3В.

 

.

 

Задача 2.

 

Даны матрицы А и В. Найти С = 3А – 2В.

 

 

.