Исходные данные и результаты расчета скользящей средней, ц/га

Таблица 6

    Сглаженный ряд урожайности по трехлетиям короче фактического на один член ряда в начале и в конце, по пятилетиям – на два члена в начале и конце ряда. Он меньше, чем фактический подвержен колебаниям из–за случайных причин и четче, в виде некоторой плавной линии на графике (рис. 2), выражает основную тенденцию роста урожайности за изучаемый период, связанную с действием долговременно существующих причин и условий развития.

Рис. 2 Динамика уровня урожайности

    Недостатком сглаживания ряда является укорачивание сглаженного ряда по сравнению с фактическим, а следовательно, потеря информации.

    Рассмотренные приемы сглаживания динамических рядов (укрупнение интервалов и метод скользящей средней) дают возможность определить лишь общую тенденцию развития явления, более или менее освобожденную от случайных и волнообразных колебаний. Однако получить обобщенную статистическую модель тренда посредством этих методов нельзя.

    Для того, чтобы дать количественную модель, выражающую основную тенденцию изменения уровней динамического ряда во времени, используется аналитическое выравнивание ряда динамики.

    Основным содержанием метода аналитического выравнивания в рядах динамики является то, что общая тенденция развития рассчитывается как функция времени:

y_t = f ( t ),

где y_t – уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t .

    Определение теоретических (расчетных) уровней y_t производится на основе так называемой адекватной математической модели, которая наилучшим образом отображает (аппромиксирует) основную тенденцию ряда динамики.

    Выбор типа модели зависит от цели исследования и должен быть основан на теоретическом анализе, выявляющем характер развития явления, а также на графическом изображении ряда динамики (линейной диаграмме).

    Например, простейшими моделями (формулами), выражающими тенденцию развития, являются:

    линейная функция – прямая y_t = а₀ + а₁ t ,

где а_0, а_{1 –} параметры уравнения;

t – время;

    показательная функция y_t = а₀ а₁^t,;

    степенная функция – кривая второго порядка (парабола)

y_t = а₀ + а₁ t + а₂ t ² .

    В тех случаях, когда требуется особо точное изучение тенденции развития (например, модели тренда для прогнозирования), при выборе вида адекватной функции можно использовать специальные критерии математической статистики.

    Расчет параметров функции обычно производится методом наименьших квадратов, в котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений между теоретическими и эмпирическими уровнями:

∑ ( y_t – y_i )² → min

где y_t – выравненные (расчетные) уровни;

  y_i – фактические уровни.

    Параметры уравнения а _i , удовлетворяющие этому условию, могут быть найдены решением системы нормальных уравнений. На основе найденного уравнения тренда вычисляются выравненные уровни. Таким образом, выравнивание ряда динамики заключается в замене фактических уровней y_i плавно изменяющимися уровнями y_t, наилучшим образом аппроксимирующими статистические данные.

    Выравнивание по прямой используется, как правило, в тех случаях, когда абсолютные приросты практически постоянны, т.е. когда уровни изменяются в арифметической прогрессии (или близко к ней).

    Выравнивание по показательной функции используется в тех случаях, когда ряд отражает развитие в геометрической прогрессии, т.е. когда цепные коэффициенты роста практически постоянны.

    Рассмотрим «технику» выравнивания ряда динамики по прямой: y_t = а₀ + а₁t. Параметры а_{0 ,} а₁ согласно методу наименьших квадратов, находятся решением следующей системы нормальных уравнений, полученной путем алгебраического преобразования условия (1.1):

а₀ n + а₁ ∑ t = ∑ y ;                                                                    (1.1)

а₀ ∑ t + а₁ ∑ t ² = ∑ yt ,

где y – фактические (эмпирические) уровни ряда;

  t – время (порядковый номер периода или момента времени).

    Расчет параметров значительно упрощается, если за начало отсчета времени (t =0) принять центральный интервал (момент).

    При нечетном числе уровней (например, 6) значения t – условного обозначения времени будет таким (это равнозначно измерению времени не в годах, а в полугодиях):

1990 г.    1991 г.      1992 г.  1993 г.           1994 г.            1995 г.

 -5               -3               -1         +1                  +3                    +5       

    При нечетном числе уровней (например,7) значения устанавливаются по-другому:

1989 г.    1990 г. 1991 г.  1992 г. 1993 г.     1994 г.     1995 г.

-3            -2         -1             0          +1           +2            +3

В обоих случаях ∑ t = 0, так что система нормальных уравнений (1.1)принимает вид:

∑ y = а₀ n                                                                                            (1.2)

∑ yt = а₁ ∑ t ²

    Из первого уравнения а₀= ∑ y / n                                            (1.3)

    Из второго уравнения а₁= ∑ yt / ∑ t ²                                            (1.4)

    Проиллюстрируем на примере урожайности зерновых культур (см. табл.6, расчетные значения – табл.7) выравнивание ряда динамики по прямой.

    Для выравнивания данного ряда используем линейную трендовую модель – уравнение прямой: y_t = а₀ + а₁ t . В нашем примере n = 10 – четное число.

    Параметры а₀ и а₁ искомого уравнения прямой исчислим по формулам (1.3) и (1.4).

Таблица 7