Уравнение прямой, представляющее собой трендовую модель искомой функции, будет иметь вид: yt = 15,34 + 0,021 t .
Подставляя в данное уравнение последовательно значения t , равные -9, -7, -5, -3, -1, +1, +3, +5, +7, +9, находим выравненные уровни yt .
Если расчеты выполнены правильно, то ∑ y = ∑ yt . В нашем примере ∑ y = ∑ yt = 153,4. Следовательно, значения уровней ряда найдены верно.
Полученное уравнение показывает, что несмотря на значительные колебания в отдельные годы, наблюдается тенденция увеличения урожайности: с 1986 по 1995 гг. урожайность зерновых культур в среднем возросла на а1 =0,021 ц/га в год.
Фактические и расчетные значения урожайности зерновых культур представим в виде графика (рис.3)
Рис.3. Уровни урожайности зерновых культур (сглаженные)
Соединив точки, построенные по фактическим данным, получим ломаную линию, на основании которой затруднительно вынести суждение о характере общей тенденции в изменении урожайности.
Тенденция роста урожайности зерновых культур в изучаемом периоде отчетливо проявляется в результате построения выравненной прямой yt = 15,34 + 0,021 t .
III . ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Задание 1
Динамика отпуска электроэнергии за пределы РФ за 1990-2000 гг. характеризуется следующими данными:
Таблица 8
Год
Отпущено электроэнергии, млрд квт.час
1990
43,4
1991
47,2
1992
44,0
1993
43,4
1994
41,7
1995
38,0
1996
31,8
1997
26,8
1998
26,4
1999
22,5
2000
22,9
Итого
388,1
Выявить основную тенденцию отпуска электроэнергии за пределы РФ за 1990-2000 гг.:
1) методом трехлетней скользящей средней;
2) методом аналитического выравнивания;
3) изобразить графически фактические и выравненные значения.
Алгоритм решения задачи:
1) Метод трехлетней скользящей средней
Исчисляем средний уровень из 11 первых по счету уровней ряда. Для этого используем формулу средней арифметической:
Y ср = y1 + y2 +… + yn / n
где y1 ;y2; yn – индивидуальные значения варьирующего признака;
n – число единиц совокупности.
В нашем примере трехлетняя скользящая средняя, поэтому n = 3.
В результате обработки ряда мы видим, что появилась тенденция к существенному уменьшению потребления электроэнергии (в 1990 году расход составил 43,4 млрд.квт.час, в 2000 году – 22,9). Графически эта тенденция выглядит так:
Рис. 4. Сглаженные уровни по трехлетенй скользящей средней
2) Метод аналитического выравнивания
Выравнивание по прямой используется, как правило, в тех случаях, когда уровни изменяются в арифметической прогрессии (или близко к ней).
Рассмотрим «технику» выравнивания ряда динамики по прямой:
yt = а0 + а1t. Параметры а0 , а1 согласно методу наименьших квадратов, находятся решением следующей системы нормальных уравнений, полученной путем алгебраического преобразования
а0 n + а1 ∑ t = ∑ y ;
а0 ∑ t + а1 ∑ t 2 = ∑ yt ,
где y – фактические (эмпирические) уровни ряда;
t – время (порядковый номер периода или момента времени).
Расчет параметров значительно упрощается, если за начало отсчета времени (t =0) принять центральный интервал (момент).
При нечетном числе уровней (в нашем примере = 11) значения устанавливаются так:
Таблица 9
Год
Время t
1990
-5
1991
-4
1992
-3
1993
-2
1994
-1
1995
0
1996
1
1997
2
1998
3
1999
4
2000
5
Итого:
0
∑ t = 0, так что система нормальных уравнений принимает вид:
∑ y = а0 n
∑ yt = а1 ∑ t 2
В результате расчетов в табличном редакторе Excel получили следующие данные:
Таблица 10
Год
Отпущено электроэнергии, млрд квт.час (y)
t
t2
y*t
y^
1990
43,4
-5
25
-217
48,78
1991
47,2
-4
16
-188,8
46,08
1992
44,0
-3
9
-132
43,38
1993
43,4
-2
4
-86,8
40,68
1994
41,7
-1
1
-41,7
37,98
1995
38,0
0
0
0
35,28
1996
31,8
1
1
31,8
32,58
1997
26,8
2
4
53,6
29,88
1998
26,4
3
9
79,2
27,18
1999
22,5
4
16
90
24,48
2000
22,9
5
25
114,5
21,78
ИТОГО
388,1
0
110
-297,2
388,08
Из первого уравнения а0= ∑ y / n
а0= 388,1 / 11 = 35,28
Из второго уравнения а1= ∑ yt / ∑ t 2
а1= -297,2 / 110 = -2,7
Уравнение прямой, представляющее собой трендовую модель искомой функции, имеет вид: : yt^ = 35,28 – 2,7 t .
Подставляя в данное уравнение последовательно значения t , равные -9, -7, -5, -3, -1, +1, +3, +5, +7, +9, находим выравненные уровни yt .
Y1 ^= 35,28 – 2,7 * (-5) = 48,78
Y2 ^= 35,28 – 2,7 * (-4) = 46,08
Y3 ^= 35,28 – 2,7 * (-3) = 43,38
Y4^= 35,28 – 2,7 * (-2) = 40,68
Y5^= 35,28 – 2,7 * (-1) = 37,98
Y6 ^= 35,28 – 2,7 * 0 = 35,28
Y7 ^= 35,28 – 2,7 * 1 =32,58
Y8 ^= 35,28 – 2,7 * 2 = 29,88
Y9 ^= 35,28 – 2,7 * 3 = 27,18
Y10 ^= 35,28 – 2,7 * 4 = 24,48
Y 11 ^ = 35,28 – 2,7 * 5 = 21,78
Если расчеты выполнены правильно, то ∑ y = ∑ yt^. В нашем примере ∑ y = ∑ yt ^ = 388,1. Следовательно, значения уровней ряда найдены верно.
Полученное уравнение показывает, что несмотря на значительные колебания в отдельные годы, наблюдается тенденция снижения потребления электроэнергии: с 1990 года по 2000 год отпуск энергии в среднем снижался на а1 = -2,7 млрд.квт.час в год.
3) Фактические и расчетные значения отпущенной электроэнергии представим на одном графике:
Рис.5. Фактические и сглаженные уровни расхода электроэнергии
Задание 2
Кредиты банков предприятиям региона в 1 квартале года характеризуется следующими данными:
Таблица 11
Вид кредита
Размер кредита, млн.руб.
на 01.01
на 01.02
на 01.03
на 01.04
Краткосрочные
24
26
27
32
Долгосрочные
0,8
0,7
0,8
1
Определите среднемесячные уровни кредита по каждому виду и двум видам вместе за 1 квартал.
2019-12-29
246
Обсуждений (0)
а0 n + а1 ∑ t = ∑ y ; 
∑ y = а0 n 
