П1.1. Критерий Дики-Фуллера

Под критерием Дики-Фуллера в действительности понимается группа критериев, объединенных одной идеей, предложенных и изученных в работах [Dickey (1976)], [Fuller (1976)], [Dickey, Fuller (1979)], [Dickey, Fuller (1981)]. В критериях Дики-Фуллера проверяемой (нулевой) является гипотеза о том, что исследуемый ряд x _t принадлежит классу DS (DS-гипотеза); альтернативная гипотеза – исследуемый ряд принадлежит классу TS (TS-гипотеза). Критерий Дики-Фуллера фактически предполагает, что наблюдаемый ряд описывается моделью авторегрессии первого порядка (возможно, с поправкой на линейный тренд). Критические значения зависят от того, какая статистическая модель оценивается и какая вероятностная модель в действительности порождает наблюдаемые значения. При этом рассматриваются следующие три пары моделей (SM – статистическая модель, statistical model; DGP – модель порождения данных, data generating process).

1) Если ряд  имеет детерминированный линейный тренд (наряду с которым может иметь место и стохастический тренд), то в такой ситуации берется пара

SM:                                                                          

DGP:

В обоих случаях e _t – независимые случайные величины, имеющие одинаковое нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием..

Методом наименьших квадратов оцениваются параметры данной SM и вычисляется значение t-статистики t _j для проверки гипотезы H₀ : j = 0. Полученное значение сравнивается с критическим уровнем t_crit, рассчитанным в предположении, что наблюдаемый ряд в действительности порождается данной моделью DGP (случайное блуждание со сносом). DS-гипотеза отвергается, если t _j < t_crit. Критические уровни, соответствующие выбранным уровням значимости, можно взять из таблиц, если ряд наблюдается на интервалах длины T = 25, 50, 100, 250, 500.

2) Если ряд x_t не имеет детерминированного тренда (но может иметь стохастический тренд) и имеет ненулевое математическое ожидание, то берется пара

SM:                                                                          

DGP:

Методом наименьших квадратов оцениваются параметры данной SM и вычисляется значение t-статистики t _j для проверки гипотезы H₀ : j = 0. Полученное значение сравнивается с критическим уровнем t_crit, рассчитанным в предположении, что наблюдаемый ряд в действительности порождается данной моделью DGP (случайное блуждание без сноса). DS-гипотеза отвергается, если t _j < t_crit. Критические уровни, соответствующие выбранным уровням значимости, можно взять из таблиц.  Если ряд наблюдается на интервалах длины T = 25, 50, 100, 250, 500.

3) Наконец, если ряд x _t не имеет детерминированного тренда (но может иметь стохастический тренд) и имеет нулевое математическое ожидание, то берется пара

SM:                                                                          

DGP:

Методом наименьших квадратов оцениваются параметры данной SM и вычисляется значение t-статистики t _j для проверки гипотезы H₀ : j = 0. Полученное значение сравнивается с критическим уровнем t_crit, рассчитанным в предположении, что наблюдаемый ряд в действительности порождается данной моделью DGP (случайное блуждание без сноса). DS-гипотеза отвергается, если t _j < t_crit.

Неправильный выбор оцениваемой статистической модели может существенно отразиться на мощности критерия Дики-Фуллера. Например, если наблюдаемый ряд порождается моделью случайного блуждания со сносом, а статистические выводы делаются по результатам оценивания статистической модели без включения в ее правую часть трендовой составляющей, то тогда мощность критерия, основанная на статистике t _j, стремится к нулю с возрастанием количества наблюдений. С другой стороны, оцениваемая статистическая модель не должна быть и избыточной, поскольку это также ведет к уменьшению мощности критерия.