Теория оптимального портфеля Марковица

Подход Марковица начинается с предположения, что инвестор в настоящий момент времени имеет конкретную сумму денег для инвестирования. Эти деньги будут инвестированы на определенный промежуток времени – период владения (курсив – мой).

В общем подход Марковица основан на анализе среднегодовой доходности, стандартного отклонения и кривых безразличия. Альтернативные портфели анализируются с этих позиций [5, 180].

Портфель – набор различных ценных бумаг, следовательно, проблема видится как проблема выбора инвестиционного портфеля.

Принимая решение, инвестор должен иметь в виду, что доходность в предстоящий период неизвестна [5].

Формирование портфеля ценных бумаг – это один их этапов инвестиционного процесса. Он включает определение конкретных активов для вложения средств, а так же пропорций распределения инвестиционного капитала между активами.

При этом инвестор сталкивается с проблемами селективности, выбора времени операций и диверсификации [5].

Концепция эффективного множества и оптимального портфеля инвестора являются основополагающими в современной инвестиционной теории.

Но как инвестор может реально оценить эффективное множество и выбрать оптимальный портфель?

Используя математический метод, известный как квадратическое программирование, инвестор может обработать ожидаемые доходности, стандартные отклонения и ковариации для определения эффективного множества.

Итак, подход Марковица к проблеме портфеля предполагает, что инвестор старается решить две проблемы: максимизировать ожидаемую доходность при заданном уровне риска и минимизировать неопределенность (риск) при заданном уровне ожидаемой доходности. Ожидаемая доходность служит мерой потенциального вознаграждения, связанного с портфелем.

Обоснование и описание критерия эффективности

Понятие риск широко используется при анализе портфельных инвестиций. Финансисты условились понимать под ним степень неопределенности результата, точнее – вариацию (разброс) ожидаемых значений доходности вокруг ее средней величины (математического ожидания). Такая трактовка риска позволила унифицировать подход к его различным видам.

С позиции инвестора все многообразие рисков может быть объединено в одну группу – общий риск или риск отдельных ценных бумаг.

Ожидаемый риск актива

Приобретая какой-либо актив, инвестор ориентируется не только на значение ожидаемой доходности, но и на уровень его риска. Ожидаемая доходность выступает, как некоторая величина, которую надеется получить инвестор, например 15%. Возможность получения данного результата подтверждается предыдущей динамикой доходности актива. На практике доходность, которую получит инвестор, может оказаться как равной, так и отличной от 15%. Т.о., риск инвестора состоит в том, что он может получить результат, отличный от ожидаемой доходности.

Строго говоря, риск вкладчика заключается в том, что он получит худший, чем ожидаемый результат.

На практике в качестве меры риска используют показатели дисперсии и стандартного отклонения. Они показывают, в какой степени и с какой вероятностью фактическая доходность и доходность актива может отличаться от величины его ожидаемой доходности, т.е. средней доходности.

Действительно, поскольку риск обусловлен недетерминированностью исхода решения, то, чем меньше разброс, результата решения, тем более он предсказуем, т.е. меньше риск. Если вариация (дисперсия) результата равна нулю, риск полностью отсутствует. Например, в условиях стабильной экономики операции с государственными ценными бумагами считаются безрисковыми [2, 12].

Данные параметры учитывают отклонения как в сторону увеличения, так и уменьшения доходности по сравнению с ожидаемым значением [1, 240-242].

Дисперсия определяется по формуле:

,                                         (2)

где  - дисперсия доходности актива;

n –  число периодов наблюдения;

 - средняя доходность актива.

Стандартное отклонение определяется по формуле:

,                                  (3)

где  - стандартное отклонение доходности актива.

Стандартное отклонение говорит о величине и вероятности отклонения доходности актива от ее средней величины за определенный период.

Полезная мера риска должна некоторым образом учитывать вероятность возможных «плохих» результатов и их величину. Вместо того, чтобы измерять вероятность различных результатов, мера риска должна некоторым образом оценивать степень возможного отклонения действительного результата от ожидаемого.

Может показаться, что «простая» мера риска в лучшем случае является очень грубой суммой «плохих» возможностей. Но в наиболее типичной ситуации стандартное отклонение является в действительности очень хорошей мерой неопределенности оценки перспектив портфеля.

Наилучшим примером является случай, когда распределение вероятностей доходности портфеля может быть аппроксимировано по известной кривой, имеющей форму колокола, которая носит название нормального распределения. Данное предположение является правдоподобным при рассмотрении высокодиверсифицированного портфеля с относительно коротким периодом владения ценными бумагами [5, 179]. 

Доходность актива в том или ином году – это случайная величина. Массовые случайные процессы подчиняются закону нормального распределения. Поэтому с вероятностью 68,3% можно ожидать, что через год доходность актива будет лежать в пределах одного стандартного отклонения от средней доходности; с вероятностью 95,5% этот диапазон составит два стандартных отклонения; и с вероятность 99,7% диапазон составит три стандартных отклонения ( ).

Поскольку доходность актива – случайная величина, которая зависит от различных факторов, то остается 0,3% вероятности, что она выйдет за рамки трех стандартных отклонений.

Чем больше стандартное отклонение доходности актива, тем больше его риск [1, 244].

Таким образом, при одинаковом уровне доходности нескольких активов стандартное отклонение может быть различным.