Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь  


Процедура решения задачи




1. Используя алгоритм градиентного спуска с постоянным шагом, найти точку х k в которой выполнен по крайней мере один из критериев окончания расчетов.

2. Провести анализ точки х k с целью установить, является ли точка хк найденным приближением решения задачи. Процедура анализа определяется на­личием у функции f (х) непрерывных вторых производных. Если , то следует провести проверку выполнения достаточных условий минимума: матрица Гессе  Если  то точка х k есть найденное приближение искомой точки х*. Если , то следует провести проверку функции f (х) на выпук­лость в Q-окрестности точки х k, используя критерий выпуклости для функций : функция f ( x ) выпукла (строго выпукла) в том и только в том случае, если . Если функция f ( x ) выпукла (строго вы­пукла), то х k есть найденное приближение точки х*.

Определение: Матрицей Гессе Н(х) дважды непрерывно дифференцируемой в точке х функции f ( x ) называется матрица частных производных второго порядка, вычисленной в данной точке:

,

где

Определители , , …,  называются угловыми минорами.

Пример 1.1. Найти локальный минимум функции

□ I. Определение точки х k, в которой выполнен по крайней мере один из критериев окончания расчетов.



1. Зададим х0, , , М: х0 = (0,5; 1)T, = 0,1; = 0,15 ; М = 10. Найдем градиент функции в произвольной точке

2. Положим к = 0.

30. Вычислим : = (3;2,5)Т.

40. Вычислим : = 3,9 > 0,1. Переходим к шагу 5.

50. Проверим условие : k = 0 < 10 = M . Переходим к шагу 6.

60. Зададим  = 0,5 .

70. Вычислим х1: х1 = (0,5; 1)T -0,5(3; 2,5)T = (-1; -0,25)T; f (х1) = 2,31.

80. Сравним f (х1) с f (х0) = 2. Имеем f (х1) > f (х0). Вывод: условие  для k = 0 не выполняется. Зададим  = 0,25, переходим к по­вторению шагов 7, 8.

701. Вычислим х1: х1 = (0,5; 1)T-0,25(3; 2,5)T = (-0,25; 0,375)T;  f (х1) = 0,171.

801. Сравним f (х1) и f (х0). Вывод: f ( x 1 ) < f ( x 0 ). Переходим к шагу 9.

90. Вычислим  и :

=0,976 > 0,15; = 1,829 > 0,15.

Вывод: полагаем k =1 и переходим к шагу 3.

31. Вычислим : = (-0,625;0,51)Т.

41. Вычислим :  = 0,81. Переходим к шагу 5.

51. Проверим условие : k = 1 < 10 = M. Переходим к шагу 6.

61. Зададим  = 0,25.

71. Вычислим х2: х2 = (-0,25; 0,375)T - 0,25 (-0,625; 0,5)T = (-0,094; 0,25)T; f (х2)  = 0,056.

81. Сравним f (х2)  с f (х1). Вывод: f (х2) < f (х1). Переходим к шагу 9.

91. Вычислим и :

= 0,2 > 0,15;   = 0,115 < 0,15.

Вывод: полагаем k = 2 и переходим к шагу 3.

32. Вычислим : = (-0,126; 0,406)Т.

42. Вычислим : = 0,425 > 0,1. Переходим к шагу 5.

52. Проверим условие : k = 2 < 10 = М, переходим к шагу 6.

62. Зададим  =0,25.

72. Вычислим х3: х3 = (-0,094; 0,25)T -0,25(-0,126; 0,406)T = (-0,063;0,15)T ; f (х3)  = 0,021.

82. Сравним f (х3)  и f (х2) . Вывод: f (х3)  < f (х2).Переходим к шагу 9.

92. Вычислим  и :

= 0,105 < 0,15; = 0,035 < 0,15.

Вывод: полагаем k =3 и переходим к шагу 3.

33. Вычислим : = (-0,102; 0,237)T.

43. Вычислим : = 0,257 > 0,1 . Переходим к шагу 5.

53. Проверим условие : k = 3<10 = М, переходим к шагу 6.

63. Зададим  = 0,25.

73. Вычислим х4: х4 = (-0,063; 0,15)T - 0,25(-0,102; 0,237)T = (-0,038; 0,091)Т; f (х4) = 0,0076.

83. Сравним f (х4) и f (х3): f (х4) < f (х3).

93. Вычислим  и :

= 0,064 < 0,15; = 0,015 < 0,15.

Условия ,  выполнены при k = 2,3. Расчет окончен. Найдена точка х4 = (-0,038; 0,091)Т; f ( x 4 ) = 0,0076.

На рис. 3 полученные точки соединены пунктирной линией.

II. Анализ точки х4.

Функция  является дважды дифференцируемой, поэтому проведем проверку достаточных условий минимума в точке х4. Для этого проанализируем матрицу Гессе .

Рис. 3

Матрица постоянна и является положительно определенной (т.е. H > 0) , так как оба ее угловых минора  = 4 и  = 7 положительны. Следовательно, точка х4=(-0,038; 0,091)T есть найденное приближение точки локального минимума х* = (0,0)T, а значение f ( x 4 ) =0,0076 есть найденное приближение значения f ( x * ) =0. Заметим, что условие H > 0, есть одновременно условие строгой выпуклости функции . Следовательно, х4 = (-0,038; 0,091)T, f ( x 4 ) =0,0076 есть найден­ные приближения точки глобального минимума f ( x ) и ее наименьшего значе­ния на R 2. ■

 

Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой



Читайте также:
Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение...
Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе...
Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (110)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.017 сек.)
Поможем в написании
> Курсовые, контрольные, дипломные и другие работы со скидкой до 25%
3 569 лучших специалисов, готовы оказать помощь 24/7