Процедура решения задачи

1. Используя алгоритм Ньютона-Рафсона, построить точку х _k, в которой выполняется по крайней мере один критерий окончания расчетов.

2. Так как , то осуществить проверку выполнения достаточных

условий минимума >0. Если условие выполнено, то точка х _k может рас­сматриваться как найденное приближение точки минимума х_*. Проверку вы­полнения достаточных условий минимума можно заменить проверкой функции f ( x ) на выпуклость.

Пример 2.2. Найти локальный минимум функции

.

□ I. Определение точки х _k, в которой выполняется по крайней мере один критерий окончания расчетов.

1. Зададим х₀,  М:  х₀ = (0,5; 1)^Т, ; М=10. Найдем градиент функции в произвольной точке  и матрицу Гессе .

2. Положим k = 0.

3⁰. Вычислим : = (3; 2,5)^Т.

4⁰. Проверим выполнение условия : = 3,9 > 0,1.

Переходим к шагу 5.

5⁰. Проверим выполнение условия : k =0 <10. Переходим к шагу 6.

6⁰. Вычислим : .

7⁰. Вычислим : .

8⁰. Проверим выполнение условия >0. Так как , , то согласно критерию Сильвестра > 0.

Поэтому найдем .

9⁰. Определим: .

10⁰. Определим   из условия .

Получаем

.

Из условия  находим  = 1. При этом , т.е. найденная величина шага обеспечивает минимум функции .

11°. Вычислим : .

12°. Проверим выполнение условий , :

= 1,12 > 0,15; = 2 > 0,15.

Положим k =1 и перейдем к шагу 3.

3¹. Вычислим : .

4¹. Проверим выполнение условия : = 0 < 0,1. Расчет

окончен: х_* = х₁.

II. Анализ точки х₁.

Точка х_* = (0;0)^T - точка локального и одновременно глобального миниму­ма f ( x ).

На рис. 9 траектория спуска изображена штрихпунктирной линией. ■

Заключение

В результате проделанной работы можно сделать следующие выводы:

1. Более или менее сложные задачи отыскания экстремума при наличии огра­ничений требуют специальных подходов, методов.

2. Многие алго­ритмы решения задач с ограничениями включают миними­зацию без ограничений как некоторый этап.

3. Различные методы спуска отличаются друг от друга способами выбора направления спуска и длины шага вдоль этого направления.

4. Среди всех наиболее употребительных методов методы второго порядка требуют для получения результата с заданной точностью наименьшего числа шагов (итераций).

5. Нет пока такой теории, которая учла бы любые особенности функций, описывающих постановку задачи. Следует отдавать предпочтение таким методам, которыми проще управлять в процессе решения задачи.

Реальные прикладные задачи оптимизации очень сложны. Современные методы оптимизации далеко не всегда справляются с решением реальных задач без помощи человека.

Исследования по данной теме можно продолжить, если рассмотреть другие методы оптимизации первого и второго порядка.

Литература

1. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. – М. Наука, 1978.

2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа (в двух томах): Учебник для студентов университетов и втузов. – М.: Высшая школа, 1981.

3. Измаилов А.Ф., Солодов М.В. Численные методы оптимизации: Учеб. пособие. – М.: Физматлит, 2005.

4. Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу: Пособие для университетов. – М.: Дрофа, 2001.

5. Пантелеев А.В., Методы оптимизации в примерах и задачах: Учеб. Пособие. – М.: Высш. школа, 2005.

6. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. - М.: Наука, 1980.

7. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. - М.: Наука, 1986.

8. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. - М.: Наука, 1983.

9.  Сеа Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. - М.: Мир, 1973.

10. Зангвилл У. Нелинейное программирование. Единый подход. - М.: Сов. радио,1973.

11. Банди Б. Методы оптимизации (вводный курс). - М.: Радио и связь,1988.

12. Компьютерное методическое пособие по методам параметрической оптимизации. МГТУ им. Баумана, 1997.

13. http://sapr.mgsu.ru/biblio/optimiz/opt.htm.

14. http://math.nsc.ru/LBRT/k5/Plyasunov/opt-2.html.

15. http://www.matmetod.ru/metods_optimize.