Помехоустойчивое кодирование

При передаче дискретных сигналов для уменьшения вероятности ошибок можно применить помехоустойчивое кодирование. Помехоустойчивое кодирование заключается во введении избыточности при кодировании с целью обнаружения и исправления ошибок. Принципиальная возможность обнаружения и исправления ошибок появляется, если для передачи знаков сообщения использовать лишь часть из возможных последовательностей, называемых в этом случае разрешенными. При декодировании принятая кодовая последовательность тестируется на предмет разрешенности. Принятие неразрешенной последовательности является признаком ошибки.

Существует множество помехоустойчивых кодов. Их можно классифицировать по различным признакам. Одним из них является основание кода m или число используемых символов. Наиболее простыми являются бинарные коды (m=2).

Далее коды можно разделить на блочные и непрерывные. Блочные – в которых последовательность элементарных сообщений источника разбивается на отрезки и каждый из них преобразуется в определенную последовательность (блок) кодовых символов. Непрерывные коды образуют последовательность символов не разделяемые на последовательные кодовые комбинации.

Блочные коды подразделяются на равномерные и неравномерные. В равномерных- все кодовые комбинации содержат одинаковое число разрядов.

Двоичные блочные коды называются линейными, если сумма по модулю двух любых разрешенных кодовых комбинаций также принадлежит данному коду. Существует подкласс линейных двоичных кодов, названных циклическими. В них каждая новая комбинация, получаемая путем перестановки кодовых символов разрешенных кодовых комбинаций, также является разрешенной.

Корректирующую способность кода определяет расстояние между двумя кодовыми комбинациями. Кодовое расстояние(d_ij) – это суммарный результат сложения по модулю m их одноименных кодовых символов. Для двоичных кодов это число разрядов, в которых символы кодовых комбинаций не совпадают. Кодовое расстояние кода, содержащее более двух кодов комбинации, есть минимальное расстояние из совокупности расстояний между различными парами кодовых комбинаций кода d=min{d_ij}. Код является корректирующим только при условии d>1. Чем больше кодовое расстояние, тем лучше корректирующая способность кода. Кратность гарантированно обнаруживаемых и исправляемых кодом ошибок определяется отношениями

 (6.1)

 (6.2)

На практике применяется как блочное, так и непрерывное кодирование. При блочном кодировании последовательный цифровой код символов разбивается на блоки по k символов в каждом. Затем каждому такому k–значному блоку сопоставляется n–значный блок, в котором k кодовых символов называется информационными, а r=(n-k) – корректирующими. Простейшим вариантом такого кода является код с проверкой на четность. Если число единиц в информационном блоке четное, то добавляется 0, если нечетное, то –1.

Вероятность ошибки, необнаруженной этим кодом при независимых ошибках, определяется биноминальным законом:

 (6.3)

где р – вероятность искажения одного элемента кода.

В нашем случае число информационных элементов k=7, код с параметрами (n,k) = (8,7) и по формуле (6.3) имеем:

Избыточностью равномерного кода  называют величину

 (6.4)

для нашего кода