Статистическая функция распределения

Расчетно-пояснительная записка к курсовой работе по математике

 

 

г. Самара

Определение законов распределения и числовых характеристик случайной величины на основе опытных данных

 

Задание

В протокол внесено n=100 измерений случайной величины Х.

1. По выборке построить статистический ряд и гистограмму.

2. Найти статистическую функцию распределения и построить её график.

3. Вычислить числовые характеристики статистического ряда .

4. Выровнять полученное распределение с помощью нормального закона.

Построить график теоретической кривой распределения в одной системе координат с гистограммой.

Построить график теоретической функции распределения в одной системе координат с графиком функции .

5. Найти доверительный интервал , в котором находится точное значение математического ожидания m случайной величины Х с доверительной вероятностью .

6. С помощью критерия согласия проверить согласованность статистического и выбранного теоретического (нормального) распределения.

Генеральная совокупность и выборка, статистический ряд и гистограмма

 

Генеральной совокупностью-называется совокупность всех подлежащих изучению объектов или возможных результатов всех наблюдений, производимых в одинаковых условиях над одним объектом.

Выборочной совокупностью или выборкой называется совокупность объектов или результатов наблюдения над объектом, отобранных случайным образом из генеральной совокупности.

Объемом выборки называется число объектов или наблюдений в выборке.

Конкретные значения выборки называются наблюдаемыми значениями случайной величины Х. Наблюдаемые значения заносятся в протокол. Протокол представляет собой таблицу. Составленный протокол является первичной формой записи обработки полученного материала. Для получения достоверных, надежных выводов выборка должна быть достаточно представительной по объему. Большая выборка – это неупорядоченное множество чисел. Для исследования выборку приводят к наглядному упорядоченному виду. Для этого в протоколе находят наибольшее и наименьшее значения случайной величины. Выборка, отсортированная по возрастанию, приведена в таблице 1.

 

Таблица 1. Протокол

-8,66	-5,49	-4,11	-3,48	-2,9	-2,32	-1,82	-1,09	-0,44	0,64
-8,31	-4,71	-3,92	-3,41	-2,85	-2,31	-1,82	-1,01	-0,43	0,71
-8,23	-4,68	-3,85	-3,33	-2,83	-2,29	-1,8	-0,99	-0,43	0,73
-7,67	-4,6	-3,85	-3,25	-2,77	-2,27	-1,77	-0,95	-0,31	0,99
-6,64	-4,43	-3,81	-3,08	-2,72	-2,25	-1,73	-0,89	-0,3	1,03
-6,6	-4,38	-3,8	-3,07	-2,67	-2,19	-1,38	-0,7	0,04	1,05
-6,22	-4,38	-3,77	-3,01	-2,6	-2,15	-1,32	-0,56	0,08	1,13
-5,87	-4,25	-3,73	-3,01	-2,49	-2,09	-1,3	-0,51	0,15	1,76
-5,74	-4,18	-3,59	-2,99	-2,37	-2,01	-1,28	-0,49	0,26	2,95
-5,68	-4,14	-3,49	-2,98	-2,33	-1,91	-1,24	-0,48	0,53	4,42

Размахом выборки называется разность между наибольшим и наименьшим значением случайной величины Х:

 

Размах выборки разбивают на k интервалов – разрядов. Число разрядов устанавливают в зависимости от величины размаха выборки от 8 до 25, в этой курсовой работе примем k = 10.

Тогда длина интервала будет равна:

В протоколе подсчитаем число наблюдаемых значений, попавших в каждый интервал, обозначим их m1, m2,…,m10.

 

.

 

Назовем mi частотой попадания случайной величины в i интервал. Если какое-либо наблюдаемое значение случайной величины совпадает с концом интервала, то это значение случайной величины по договоренности относят в один из интервалов.

После того как определили частоты mi , определим частости случайной величины, т.е. найдем отношение частот mi к общему числу наблюдаемых значений n.

 

 - частость, условие полноты –

Найдем середину каждого интервала:

.

Составим таблицу 2

Таблица значений границ интервалов и соответствующих частостей , где i = 1, 2, 3, …, k, называется статистическим рядом. Графическим изображением статистического ряда называется гистограмма. Она строится следующим образом: по оси абсцисс откладывают интервалы и на каждом таком интервале, как на основании, строится прямоугольник, площадь которого равна соответствующей частости .

 

,  - высота прямоугольника, .

 

Таблица

Номер интервала	Левая граница интервала	Правая граница интервала	Интервал	Середина интервала	Частота интервала	Частость интервала	Высота прямо-угольника
1	-8,66	-7,352	(-8,66; -7,352)	-8,006	4	0,04	0,0306
2	-7,352	-6,044	(-7,352; -6,044)	-6,698	3	0,03	0,0229
3	-6,044	-4,736	(-6,044; -4,736)	-5,39	4	0,04	0,0306
4	-4,736	-3,428	(-4,736; -3,428)	-4,082	20	0,2	0,1529
5	-3,428	-2,12	(-3,428; -2,12)	-2,774	26	0,26	0,1988
6	-2,12	-0,812	(-2,12; -0,812)	-1,466	18	0,18	0,1376
7	-0,812	0,496	(-0,812; 0,496)	-0,158	14	0,14	0,1070
8	0,496	1,804	(0,496; 1,804)	1,15	9	0,09	0,0688
9	1,804	3,112	(1,804; 3,112)	2,458	1	0,01	0,0076
10	3,112	4,42	(3,112; 4,42)	3,766	1	0,01	0,0076
				Сумма	100	1

 

Рисунок 1.

Статистическая функция распределения

 

Статистической функцией распределения называется частость случайной величины, не превосходящая заданного значения Х:

 

 

Для дискретной случайной величины Х статистическая функция распределения находится по формуле:

 

 

Запишем статистическую функцию распределения в развернутом виде:

 

 

где - это середина интервала i, а  - это соответствующие частости, где i=1, 2,…, k.

 

График статистической функции распределения есть ступенчатая линия, точками разрыва которой являются середины интервалов, а конечные скачки равны соответствующим частотам (Рисунок 2).

 

Рисунок 2

Вычисление числовых характеристик статистического ряда

 

- статистическое математическое ожидание,

- статистическая дисперсия,

- статистическое среднеквадратическое отклонение.

 

Статистическим математическим ожиданием или статистическимсредним называется среднеарифметическое наблюдаемых значений случайной величины Х.

 

 

Статистической дисперсией называется среднеарифметическое значение величины или

 

 

При большом объеме выборки вычисления по формулам и приводят к громоздким выкладкам. Для упрощения расчетов используют статистический ряд с границами  и частостями , где i = 1, 2, 3, …, k, находят середины интервалов , а затем все элементы выборки , которые попали в интервал , заменяют единственным значением , тогда таких значений будет в каждом интервале .

 

 

где - среднее значение соответствующего интервала ; - частость интервала

 

 

Вычисление числовых характеристик статистического ряда сведем в таблицу 3.

Таблица 3. Числовые характеристики

Номер интервала	Середина интервала Xi	Частость Pi	XiPi	(Xi-m)^2	(Xi-m)^2*Pi
1	-8,006	0,04	-0,3202	31,48691	1,2595
2	-6,698	0,03	-0,2009	18,51856	0,5556
3	-5,39	0,04	-0,2156	8,97194	0,3589
4	-4,082	0,20	-0,8164	2,84705	0,5694
5	-2,774	0,26	-0,7212	0,14388	0,0374
6	-1,466	0,18	-0,2639	0,86245	0,1552
7	-0,158	0,14	-0,0221	5,00274	0,7004
8	1,15	0,09	0,1035	12,56476	1,1308
9	2,458	0,01	0,0246	23,54850	0,2355
10	3,766	0,01	0,0377	37,95398	0,3795
Статистическое математическое ожидание					-2,3947
Статистическая дисперсия					5,3822
Статистическое среднее квадратическое отклонение					2,3200

 

 определяет положение центра группировки наблюдаемых значений случайной величины.

, характеризуют рассеяние наблюдаемых значений случайной величины вокруг