Сокращение мономиальных систем
Пусть : – полиномиальная система, где каждый – моном, такой, что , где – неотрицательное целое число. То есть, может быть описано матрицей . В первую очередь связывается с Булевой мономиальной системой и линейной системой над кольцами . В работе «Булевы мономиальные системы» называется системой конечных элементов если все конечные циклы заключаются в фиксированном элементе. Покажем что – конечный элемент системы тогда, и только тогда, когда и – системы конечных элементов. Определение 1.2.1. Для , мы определим базис , обозначенный supp ( u ), равный , где
Мономиальная система порождает Булеву мономиальную систему на с параметрами , где и v = supp ( u ). Лемма 1.2.1.
- коммутативная диаграмма.
Доказательство. Это прямо доказывается тем что supp ( f ( u ))= f ( supp ( u )). Так как на множестве всех таких, что supp ( u )= u, появляется следующие прямые следствия. Следствие 1.2.1. Фазовое пространство – подграф фазового пространства . Следствие 1.2.2. Предположим что – система конечных элементов. Если – цикл в фазовом пространстве , тогда для всех . Пример 1.2.1. Пусть . - состоит из всех возможных наборов длины 3 из трёх элементов: 0, 1, 2. Это наборы:
Используя функцию , определим переходы в фазовом пространстве .
000 - , 001 - , 002 - , 010 - , 020 - , 100 - , 200 - , 111 - , 110 - , 112 - , 101 - , 121 - , 011 - , 211 - , 222 - , 220 - , 221 – , 202 - , 212 - , 022 - , 122 - , 012 - , 021 - , 210 - , 102 - , 120 - , 210 - , 201 - ,
Так как , то . Используя эту функцию, определим переходы в фазовом пространстве .
000 - , 001 - , 010 - , 100 - , 101 - , 011 - , 110 - , 111 - .
На рисунке 1.2.1 и 1.2.2 изображены фазовое пространство системы и ее «Булеанизяция» , соответственно.
Рис. 1.2.1. Фазовое пространство .
Рис. 1.2.2. Фазовое пространство .
Затем связывается с - размерной линейной системой над конечным кольцом. Заметим сначала что – изоморфный, как Абелева группа, для через изоморфизм , появляется возможность генератора для циклической группы . В первую очередь обратим внимание, что множество векторов со всеми ненулевыми вхождениями – постоянны для . Пусть – генератор для циклической группы ,и пусть . Тогда . Определение 1.2.2. Обозначим для . Видно что – линейное преобразование - элемента. Но можно рассматривать его, как линейное преобразование для - элемента, рассматривая как конечное кольцо, которое обозначим – . То есть, имеется линейное преобразование . Это доказывает следующую лемму. Лемма 1.2.2.
- коммутативная диаграмма.
Обратим внимание, что вертикальные стрелки – изоморфизмы. Это значит, что они сохраняют фазовое пространство структуры, включая длину конечных циклов. В частности, имеется следующее следствие. Следствие 1.2.3. Фазовое пространство изоморфно к подграфу фазового пространства , состоя из всех наборов с базисным вектором . Пример 1.2.2. Для мономиальной системы в примере 1.2.1, определим , где
.
Рассчитаем переходы в фазовом пространстве .
000 - , 001 - , 010 - , 011 - , 100 - , 101 - , 110 - , 111 - .
Фазовое пространство изображено на рисунке 1.2.3.
Рис. 1.2.3. Фазовое пространство .
Теорема 1.2.1. Пусть – мономиальная динамическая система. Тогда – система конечных элементов тогда, и только тогда, когда и – системы конечных элементов. Доказательство. Из следствий 1.2.1 и 1.2.3, если – система конечных элементов, то и тоже системы конечных элементов. Для доказательства от противного, предположим что и – системы конечных элементов, а – нет. Для каждого конечного цикла , любой из двух связанных наборов имеет все координаты ненулевые, или все наборы имеют минимум одну нулевую координату. В первом случае из этого следует, что имеет конечный цикл, той же длины. Следовательно, если имеет конечный цикл длины большей чем , тогда включаются только наборы имеющие минимум одну нулевую координату. Пусть – наборы в конечном цикле. Так как этот конечный цикл должен отображать конечный элемент для из этого следует, что имеет тот же самый базисный вектор, то есть, тот же самый образец нулевых вхождений, и отличается только в ненулевых координатах. Кроме того, мономы в ненулевых координатах не включают никакие переменные, соответствующие нулевым координатам. Таким образом, если построить новый набор , заменяя каждый в , на , – будет частью конечного цикла длины, по крайней мере , что является противоречием. Это доказывает теорему.
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (155)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |