Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь  


Метод простой итерации




Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

 

Этот метод широко используется для численного решения уравнений и их систем различных видов. Рассмотрим применение метода простой итерации к решению систем линейных уравнений.

Запишем исходную систему уравнений в векторно-матричном виде  и выполним ряд тождественных преобразований:

 

 

Где - некоторое число, Е - единичная матрица, .

Получившаяся система эквивалентна исходной системе и служит основой для построения метода простой итерации.

Выберем некоторое начальное приближение  и поставим в правую часть системы:

 

 

Поскольку  не является решением системы, в левой части получится некоторый столбец , в общем случае отличный от . Полученный столбец  будем рассматривать в качестве следующего (первого) приближения к решению. Аналогично, по известному k-му приближению можно найти (k+1) - е приближение:

 

 

Эта формула и выражает собой метод простой итерации. Для ее применения нужно задать неопределенный пока параметр . От значения  зависит, будет ли сходится метод, а если будет, то какова будет скорость сходимости, т.е. как много итераций нужно совершить для достижения требуемой точности. В частности справедлива следующая теорема.



Теорема. Метод простой итерации сходится тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы  по модулю меньше единицы.

Для некоторых типов матрицы А можно указать правило выбора , обеспечивающее сходимость метода и оптимальную скорость сходимости. В простейшем случае  можно положить равным некоторому постоянному числу, например, 1, 0.1 и т.д.

 

Метод Зейделя

 

Этот метод можно проиллюстрировать на примере решения системы:

a11x1+a12x2+a13x3=b1

a21x1+a22x2+a23x3=b2

a31 x1+ a32 x2+ a33 x3= b3

 

Предположим, что диагональные элементы a11, a 22, a 33 отличны от нуля (в противном случае можно переставить уравнения). Выразим неизвестные х1, х2, х3 соответственно из первого, второго и третьего уравнений системы:

 


Зададим некоторые начальные (нулевые) приближения значений неизвестных: х11 (0), х22 (0), х33 (0). Подставляя эти значения в правую часть выражения (‘1), получаем новое (первое) приближение для х1:

 

 

Используя это значение для х1 и приближение х3 (0) для х3, находим из (‘2) первое приближение для х2:

 

.

 

И наконец, используя вычисленные значения х11 (1), х22 (1), находим с помощью выражения (‘3) первое приближение для х3:

 

 

На этом заканчивается первая итерация решения системы (‘1) (‘2) (‘3). Используя теперь значения х1 (1), х2 (1), х3 (1), можно таким же способом провести вторую итерацию, в результате которой будут найдены вторые приближения к решению х11 (2), х22 (2), х33 (2) и т.д.

Приближение с номером с k можно вычислить, зная приближение с номером k-1, как


 

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значения х1 ( k), х2 ( k), х3 ( k) не станут близкими с заданной погрешностью к значениям х1 ( k-1), х2 ( k-1), х3 ( k-1).

 




Читайте также:
Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние...
Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (111)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.01 сек.)
Поможем в написании
> Курсовые, контрольные, дипломные и другие работы со скидкой до 25%
3 569 лучших специалисов, готовы оказать помощь 24/7