Обобщенный алгоритм решения нелинейных САУ

Министерство образования и науки Российской Федерации

Новосибирский Государственный Технический Университет

Кафедра экономической информатики

 

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

по предмету «ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ» на тему:

Исследование метода дифференцирования по параметру для решения нелинейных САУ

Новосибирск

2004

СОДЕРЖАНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ (МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ МЕТОДОВ)

1.1 Обобщенный алгоритм решения нелинейных САУ

1.2 Метод дифференцирования по параметру

1.3 Явные методы Рунге-Кутта

1.4 Метод Ньютона

1.5 Дискретный метод Ньютона

2. ОПИСАНИЕ ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ

2.1 Общие сведения

2.2 Функциональное назначение

2.3 Описание логической структуры

2.4 Используемые технические средства

2.5 Вызов и загрузка

2.6 Входные данные

2.7 Выходные данные

3. ОПИСАНИЕ ТЕСТОВЫХ ЗАДАЧ

4. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ. ВЫВОДЫ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

 

Целью данной работы является исследование метода дифференцирования по параметру для решения нелинейных САУ. Для реализации данного исследования используется система MatLab Version 5.1. Поставленными в начале работы задачами являются разработка программного обеспечения для решения нелинейных САУ методом дифференцирования по параметру, а также исследование влияние метода интегрирования на точность получаемого решения. Также в работе должны быть представлены графики переходных процессов для трех методов с различными начальными значениями вектора X₀.

 

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ (МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ МЕТОДОВ)

 

Экономический объект при определенных условиях описывается системой нелинейных алгебраических уравнений вида

0=F(X*,U*).

 

Если при этом входной сигнал U* известен, то для определения соответствующего значения Х* необходимо решить систему нелинейных АУ вида

F(X)=0.

 

Точно решить эту систему удается редко, поэтому решение находим в два этапа:

- определение приближенного значения;

- уточнение приближенного значения с помощью некоторого итерационного метода до некоторой заданной степени точности.

Часто значение Х⁰ бывает известно из каких-либо практических соображений, связанных со знанием ЭО. Для малых n значения вектора Х⁰ можно определить графически. Если метод решения обладает глобальной сходимостью, то Х⁰ может быть любым. Сосредоточим свое внимание на втором этапе (уточнение приближенного значения).

Численный метод, в котором производится последовательное, шаг за шагом, уточнение первоначального грубого приближения Х⁰ называется итерационным. Каждый шаг в этом методе называется итерацией. Если с каждым шагом получаемое значение Х все ближе к точному Х^*, то метод сходится.

Обобщенный алгоритм решения нелинейных САУ

дифференцирование алгебраическое нелинейное уравнение

Большинство известных итерационных методов решения системы F(X)=0 можно записать одной общей формулой

Х ^{m +1} = G (Х ^m , Х ^{m -1} ,…,Х ^{m - p +1} ),

 

где G – вектор-функция размерности n , которая определяется способом построения итерационного процесса; р – количество предыдущих значений Х, используемых в данном итерационном процессе.

Если в итерационном процессе используется только одна предыдущая точка (р=1), то

Х ^{m +1} = G (Х ^m )

 

Метод дифференцирования по параметру относится к этому случаю.

Основные характеристики итерационных методов:

1. Сходимость итераций. Итерации сходятся, если

lim Х ^m =Х* при m →∞

 

Вектор-функция G(Х) называется изображением итерационного процесса. Спектральным радиусом квадратной матрицы А ρ(А) называется максимальный из модулей ее собственных значений. Предположим, что функция G(Х) определена и непрерывна вместе со своей первой производной

G ^/ _Х = δG / δ Х

 

Теорема сходимости.

Если спектральный радиус матрицы G ^/ _Х ρ( G ^/ _Х )<1 и если векторы Х ^{m +1} = G (Х ^m ) не выходят за области определения вектор - функций F и G, то процесс итераций Х ^{m +1} = G (Х ^m ) сходится. При этом предельный вектор Х* = lim Х ^m при m →∞ является единственной точкой притяжения итераций.

Эта теорема справедлива для любого начального приближения Х⁰ и поэтому относится к теоремам о глобальной сходимости.

Трудность применения теоремы о глобальной сходимости состоит в том, что надо определять величины rⁱ , i =1, n на каждом m-шаге итерационного процесса. Это практически невозможно.

Поэтому нашли применение теоремы локальной сходимости. При этом предполагают, что точка Х⁰ лежит близко к Х*. Спектральный радиус матрицы G ^/ _Х вычисляется только в точке Х⁰: ρ( G ^/ (Х⁰))<1.

2. Выбор величины начального приближения.

Выбор величины Х⁰ зависит от вида сходимости метода. Если метод имеет локальную сходимость, то Х⁰ должно быть близко к Х*, если глобальную, то Х⁰ - любой. Часто Х⁰ = 0.

3. Скорость сходимости итераций.

Скорость сходимости итераций оценивается по скорости уменьшения величины ошибки

E^m = |Х ^m -Х*|

 

Если условия сходимости выполняются, то часто скорость можно оценить формулой

|| E^{m +1} || = с || E^m || ^k , где k- целое число; с- константа.

 

Если k=1, то итерационный метод имеет линейную сходимость. При этом, если с≈1, то сходимость медленная (метод простой итерации).

Если k =2, то метод обладает квадратичной скоростью сходимости. Так как || E^m ||<1, то || E^m ||² будет величиной второго порядка малости и поэтому скорость велика (метод Ньютона).

4. Критерий окончания итераций.

Расчеты по формуле Х ^{m +1} = G (Х ^m ) не могут длиться бесконечно долго. Очевидно, что критерием окончания итерационного процесса могла бы служить величина E^m, но нам неизвестно значение Х*. В связи с этим величину E^m можно оценить косвенно.

Способ 1. Остановить процесс вычислений, когда || F (Х ^m )|| ≤ ε ^доп заданной допустимой погрешности. Заметим, что lim || F (Х ^m )||=0 при m →∞.

Способ 2. Остановить процесс вычислений, когда ||∆Х ^m || < ε ^доп. ∆Х ^m = Х ^{m +1} – X^m . Чем ближе к Х*, тем меньше величина ||∆Х ^m ||.

Выбор способа зависит от характера поведения функций f_i (Х) вблизи решения.

 

 

 

f_i f_i

E_i^m

 

ε^доп

Х_i^*X_i^m X_i* X_i^m X_i

ε^доп

Рис. 1.1 Рис. 1.2

 

Из рис. 1.1 видно, что если заканчивать итерационный процесс по величине || F ||, то при этом можно оказаться довольно далеко от Х _i * по Х _i ^m . На рис. 1.2 – наоборот, итерационный процесс заканчивается при малых значениях ||∆Х ^m ||, что приводит к большим ошибкам по || F^m ||.

Способ 3. Чтобы избежать недостатков первых двух способов, контролируют обе нормы, а итерационный процесс заканчивают при том значении m, при котором

max {||∆Х ^m ||, || F (Х ^m )|| }< ε ^доп

 

Следует заметить, что при плохой обусловленности матрицы G ^/ _Х вблизи Х* возможны колебания значений норм. Тогда нужно применять специальные методы уменьшения этих колебаний.