Метод дифференцирования по параметру
Здесь алгебраическая задача сводится к задаче интегрирования системы ОДУ, которая формируется следующим образом. Рассмотрим функцию Н(Х, t) как функцию параметра tЄ[0,1], т.е. обозначим Ф(t)=Н(Х, t). Пусть Ф(t) непрерывно дифференцируема по t на интервале [0,1], тогда Ф/(t)=( δH/δХ)·X/(t)+ δH/δt.
Функция H(Х, t) удовлетворяет тем же требованиям, что и в методе продолжения решения по параметру. Следовательно, функция Х(t) удовлетворяет уравнению H(Х, t)=0, откуда получаем Ф/(t)=0. Значит, из последнего соотношения имеем систему ОДУ вида X/(t)= - ( δH/δХ)-1 ·δH/δt.
Система ОДУ решается при начальных условиях t=0, X(0)=X0. Время меняется от 0 до 1. При t=1 получим решение системы F(X)=0 - вектор Х* с точностью, зависящей от точности метода интегрирования системы. Если Н(Х,t)= F(X) + (t - 1) · F(X0) , то получим систему ОДУ X(t)=-J-1(Х(t))•F(X0),
которая является нелинейной по Х. Данная система решается явными методами Рунге – Кутта, а затем полученное приближенное значение уточняется дискретным методом Ньютона за несколько итераций.
Явные методы Рунге-Кутта
Свойства методов Рунге-Кутта: 1. Методы являются одношаговыми; чтобы найти X m +1 , нужна информация только о предыдущей точке Xm , t т. 2. Они согласуются с рядом Тейлора вплоть до членов порядка hs, где степень S различна для различных методов и называется порядком метода. 3. Методы не требуют вычисления производных функций fi ( X , t ), i =1, n , а только самой функции в нескольких точкахна шаге hm . Методом Рунге-Кутта 1-го порядка является явный метод Эйлера:
Х/ =F(Х, t) ; Xm +1 = Xm + hm · F ( Xm , tm )
Ошибка аппроксимации εα ~ h 2 т . Область абсолютной устойчивости – круг радиусом, равным 1 и центром в точке (0, -1) – см. рис. 1.3, кривая 1; область относительной устойчивости – вся правая полуплоскость. Рассмотрим методы Рунге-Кутта 2-го и 4-го порядка, которые также используются довольно часто. Алгоритм метода Рунге-Кутта 2-го порядка состоит в следующем: Xm +1 = Xm + ( hm /2)·( K 1 + K 2 ), где K 1 = F ( Xm , tm ), K 2 = F ( Xm + hm · K 1 , tm + hm ). Ошибка аппроксимации εα= kh 3 т . Область абсолютной устойчивости показана на рис. 1.3 (кривая 2). Область относительной устойчивости - вся правая полуплоскость. Алгоритм метода Рунге-Кутта 4-го порядка: Xm +1 = Xm + ( hm /6) · ( K 1 + 2 K 2 + 2 K 3 + K 4 ), где K 1 = F ( Xm , tm ), K 2 = F ( Xm + ( hm /2)· K 1 , tm + hm /2); K3= F(Xm + (hm/2) ·K2, tm + hm/2); K4= F(Xm + h·K3, tm + hm);
Ошибка аппроксимации εα=kh 5 т . Область абсолютной устойчивости показана на рис. 1.3 (кривая 3). Область относительной устойчивости - вся правая полуплоскость.
1 2
3
Рис. 1.3
Метод Ньютона
Итерационная формула дискретного метода Ньютона имеет вид Xm +1 = Xm – J -1 ( Xm ) · F ( Xm ) , где J (Х m ) = F / X / X = Xm – матрица Якоби. Характеристики метода. 1. Сходимость. Условие сходимости метода ρ( G ’Х(Х))= ρ( I – ( J -1 (Х) · F (Х))/Х)<1.
Имеем ρ( I – J -1 (Х*) · F / Х (Х*))=0; это означает, что метод обладает локальной сходимостью, т.е. сходится только вблизи точного решения. Поэтому при реализации метода дифференцирования по параметру вначале нужно получить приближенное значение. Чем ближе к Х*, тем быстрее сходится метод. 2. Выбор начального приближения Х0. Поскольку метод сходится только вблизи точного решения, значит, начальное приближение также нужно выбирать вблизи Х*. Насколько близко, зависит от скорости изменения функции F (Х) вблизи Х*: чем выше скорость, тем меньше область, где соблюдается условие сходимости. 3. Скорость сходимости. Она определяется соотношением || Em +1 ||= Cm || Em ||1+ Р , 0<р<1. При Х→Х* величина р→1. Это значит, что вблизи точного решения скорость сходимости близка к квадратичной. 4. Критерий окончания итераций. Таким критерием может быть любое соотношение из описанных выше в обобщенном алгоритме решения нелинейных САУ.
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (202)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |