ПОСТРОЕНИЕ СТЕПЕННОЙ РЕГРЕССИВНОЙ МОДЕЛИ

 

     У=а*х предшествует процедура линеаризации переменных. Линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

Lg y=lg a+b* lg x;

Y=C+b*X где

Y=lg y.,C= lg a., X= lg x

Табл.№3

№ п/п	Y	X	YX	Y²	X²	ŷx	yi-ŷx	(yi-ŷx)²	Ai
1	1,86	1,67	3,1062	3,4596	2,7889	68,61	4,19	17,6	5,76
2	1,80	1,77	3,186	3,24	3,1329	60,24	2,96	8,76	4,68
3	1,79	1,70	3,043	3,2041	2,89	66,17	-4,27	18,23	6,90
4	1,77	1,80	3,186	3,1329	3,24	57,72	0,98	0,96	1,67
5	1,76	1,78	3,1328	3,0976	3,1684	59,33	-2,33	5,43	4,09
Итого	8,98	8,72	15,654	16,134	15,22			50,98	23,1
Сред.знач	1,796	1,744	3,1308	3,22	3,044			10,196	4,62
σ	0,3010	0,05
σ²	0,0906	0,0025

 

Рассчитаем σ:

 

    1

σ²x= n ∑(хi-х)²=3,044-1,744²=0,0025

 

    1

σy²= n ∑(yi-y)²=3,22-1,769²=0,0906

вычислим значения С и b по формуле:

 

b= yx-y∙x =(3,1308-1,796*1,744)/0,0025= -0,5696

   σ²x

 

С=Y-b∙X=1,796+0,5696*1,744=2,7894

 

      Получим линейное уравнение Ỹ=2,7894-0,5696*Х, после потенцирования

                                                        2,7894    -0,5696                         -0,5696

получим: ŷ=10     *х =615,7 *х

Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получаем теоритические значения результата ŷx. По ним рассчитываем показатели: тесноты связи – индекс корреляции ρxy и среднюю ошибку аппроксимации Аi

     2,7894

Ŷ 1 =10 *47,1=68,61

    2,7894

Ŷ 2= 10 *59,2=60,24

    2,7894

Ŷ 3= 10 *50,2=66,17

    2,7894

Ŷ 4= 10 *63,8=57,72

    2,7894

Ŷ 5= 10 *60,8=59,33 далее рассчитаем Аi

 

   l                    ( yi -ỹ хi )

А= n ∑ А i =         уi      ∙100%

А1=4,19/72,8*100%=5,76%

А2=2,96/63,2*100%=4,68%

А3=4,27/61,9*100%=6,90%

А4=0,98/58,7*100%=1,67%

А5=2,33/57,0*100%=4,09%

ρxy=√ l-(∑(yi-ŷх) ² ∕ (∑(y-yср)²=√ l-10,196/30,2776=0,81

определим коэффициент по формуле детерминации:

r²xy=(Pxy)²=(0,81)²=0,6561

А i =4,62%

    Характеристика степенной модели указывают, что она несколько лучше линейной функции описывает взаимосвязь.

 

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ РЕГРЕССИВНАЯ МОДЕЛЬ

 

       Построению уравнения показательной кривой у=а ·bx предшествует процедура линеаризации переменных при логарифмировании обеих частей уравнения:

Lg y=lg a+x*lgb

Y=C+Bx где,

Y=lg y., C=lg a., B=lgb

Табл.№4

№ п/п	Y	X	YX	Y²	X²	ŷx	yi-ŷx	(yi-ŷx)²	Ai
1	1,86	47,1	87,606	3,4596	221,41	67,96	4,84	23,42	6,65
2	1,80	59,2	106,56	3,24	3504,64	60,18	3,02	9,12	4,77
3	1,79	50,2	89,858	3,2041	2520,04	65,87	-3,97	15,76	6,41
4	1,77	63,8	112,926	3,1329	4070,44	57,45	1,25	1,56	2,12
5	1,76	60,8	107,008	3,0976	3696,64	59,22	-2,22	4,92	3,89
Итого	8,98	281,1	503,958	16,1342	16010,17	310,68	2,92	54,78	23,84
Сред.знач	1,796	56,22	100,7916	3,2268	3202,034				4,77
σ	0,037	6,4
σ²	0,0012	41,34

 

Значения параметров регрессии А. и В составили:

b= Υ·x - Υ· x =(100,7916-1,796*56,22)/41,34=-0,0043

      σ²x

А=Υ-В * х=1,796+0,0043*56,22=2,0378

Получено линейное уравнение : Ỹ=2,0378-0,0043* х далее, исходя из этого уравнения произведем потенцирование и запишем его в обычной форме

   2,0378       -0,0043 * х                                       х

ŷ =10 *10  =109,1*0,99

                                              47,1

ŷ1=109,1*0,99 =67,96

                  59,2

ŷ2=109,1*0,99 =60,18

                                               50,2

ŷ3=109,1*0,99 =65,87

                                              63,8

ŷ4=109,1*0,99 =57,45

                                              60,8 

ŷ5=109,1*0,99 =59,22

 

рассчитаем Аi

 

 

   l                    ( yi -ỹ хi )

А= n ∑ А i =         уi      ∙100%

 

А 1 =4,84/72,8*100%=6,65%

А 2 =3,02/63,2*100%=4,77%

А 3 = 3,97/61,9*100%=6,41%

А 4 =1,25/58,7*100%=2, 12%

А 5 =|2,22/57,0*100%=3,89%

Аi=4,77%

 

Тесноту связи оцениваем через индекс корреляции:

 

ρxy=√ l-(∑(yi-ŷх) ² ∕ (∑(y-yср)²=√l-10,95/30,2776=0,8

Связь умеренная, но немного хуже чем в предыдущем случае.

Коэффициент детерминации : r²xy=(Pxy)²=(0,8)²=0,64.

        

Аi=4,77%. Показательная функция чуть хуже, чем степенная- она описывает изучаемую зависимость.

 

РЕГРЕССИВНАЯ МОДЕЛЬ РАВНОСТОРОННЕЙ ГИПЕРБОЛЫ.

                                                                               1

Уравнение равносторонней гиперболы у=а+b х линеаризуется при замене

   

  1

Z= х , тогда уравнение равносторонней гиперболы принимает следующий вид: у=а+b*z

Табл.№5

 

№ п/п	Y	X	YX	Y²	X²	ŷx	yi-ŷx	(yi-ŷx)²	Ai
1	72,8	0,021	1,52	0,000441	5299,84	67,63	5,17	26,72	7,1
2	63,2	0,017	1,07	0,000289	3994,24	61,85	1,35	1,82	2,14
3	61,9	0,019	1,17	0,000361	3831,61	64,74	-2,84	8,06	4,58
4	58,7	0,015	0,88	0,000225	3445,69	58,95	-0,25	0,06	0,42
5	57,0	0,016	0,91	0,000256	3249	60,40	-3,4	11,56	5,96
Итого	313,6	0,009	5,55	0,001572	19820,38	313,6	0,03	48,22	20,2
Сред знач	62,72	0,018	1,11	0,000314	3964,076			9,644	4,04
σ	5,5	0,0021
σ²	30,28	0,00000424

 

   1

σy²= n ∑( yi – y )²= 3964,076 - 62,72²=30,2776

σ²z= 0,000314 – 0,0176²=0,00000424

значения параметров регрессии а и b составили:

 

b= y·z - y · z =(1,11-62,72*0,0176)/0,00000424 = 1445,28

         σ²z

   

          

а=y - b * z = 62,72-1445,28*0,0176=37,28, получено уравнение                         

 

ŷ=37,28+1445,28* z

                       

ŷ 1 =37,28+1445,28*0,021=67,63

ŷ 2 =37,28=1445,28*0,017=61,85

ŷ 3 =37,28=1445,28*0,019=64,74

ŷ 4 =37,28=1445,28*0,015=58,95

ŷ 5 =37,28=1445,28*0,016=60,40

Индекс корреляции: ρxy=√ l-(∑(yi-ŷх) ² ∕ (∑(y-yср)²=√l-9,644/30,2776=0,8256

Связь тесная, но хуже чем в предыдущих моделях.

r²xy=(Pxy)²=(0,82)²=0,6816

 А=4,04%, т.е остается на допустимом уровне.

           P²xy      n-m-l     0,6816             0,6561

F факт =  l-P²xy * m   = l- 0,6816 *3 = 0,3184 *3 =6,18

 

Т.к F табл.α=0,05=10,13 следовательно F факт< F табл отсюда следует, что гипотеза Но принимается. Этот результат можно объяснить сравнительно невысокой теснотой выявленной зависимости и небольшим числом наблюдений.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении проанализируем полученные в курсовой работе результаты исследований и выберем рабочую модель.

Экономический анализ моделей, по результатам исследования получил следующие значения:

Коэффициент парной корреляции rxy= 0,79 у линейной модели;

Индекса корреляции  Pxy =0,81 у степенной модели;

Индекса корреляции Pxy =0,80 у показательной модели;

Индекса корреляции Pxy =0,82 у модели равносторонней гиперболы.

Данные индексы показывают, что связь у(х) (среднесуточная производительность труда от стоимости основных производственных фондов) прямая, тесная, высокая.

С экономической точки зрения, все модели достаточно хороши, т.е у всех моделей при увеличении расходов на подготовку и освоение производства – производительность труда увеличивается. Это значит что на данных предприятиях есть резервы для расширения производства, резервы для введения новых технологий с целью увеличения прибыли.

Руководствуясь целью курсовой работы можно сделать вывод, что из всех рассмотренных моделей линейная модель лучше всех отражает экономический смысл. А теперь сравним регрессивные модели по средней ошибке аппроксимации А ,которая показывает, на сколько фактические значения отличаются от теоретических рассчитанных по уравнению регрессии т.е у и ŷ x:

У линейной модели                       А 1= 4,7%;

У степенной модели                  А 2= 4,62%;

У показательной модели         А 3= 4,77%;

У равносторонней гиперболы А 4 =4,04%.

Средняя ошибка аппроксимации А 1, А 2, А 3, А 4 находятся в допустимом пределе.

Вывод: чем меньше это отличие, тем ближе теоретические значения подходят к эмпирическим данным (лучшее качество модели). По расчетным данным моей работы показательная модель имеет лучшее качество. Сравнивая регрессивные модели по коэффициенту детерминации r²xy линейной, степенной. Показательной и равносторонней гиперболы видим, что статистические характеристики модели равносторонней гиперболы превосходят аналогичные характеристика других моделей, а именно : коэффициент детерминации у линейной модели равен 0,62; у степенной 0,6561; у показательной 0,64 и у равносторонней гиперболы 0,6816. Это означает, что факторы, вошедшие в модель равносторонней гиперболы. Объясняют изменение производительности труда на 68,16%, тогда как факторы, вошедшие в линейную модель на 62%, в показательную на 64% и в степенную на 65,61%, следовательно, значения, полученные с помощью коэффициента детерминации модели равносторонней гиперболы более близки к фактическим. На основании этого, модель равносторонней гиперболы выбирается за рабочую модель в данном примере.

 

Список используемой литературы:

 

1) А.М.Беренская – Курс лекций по теме «Математическое моделирование»

2) М.Ш.Кремер –«Исследование операций в эконометрике»

3) И.И.Елисеева - «Практикум по эконометрике»

4) И.И.Елисеева - «Эконометрика»