Эллиптические функции второго порядка

1. Если эллиптическая функция f ( z ) с периодами 2 и 2 удовлетворяет соотношению

 

 (6)

где К - некоторое постоянное, то числа

 

 

будут нули или полюсы функции f ( z ). В самом деле, полагая в соотношении (6)

 

 

получим:

 

,

 

откуда следует, что

 

 

есть нули или полюсы функции f ( z ). Числа , ', + ' и им конгруэнтные называются полупериодами.

Предполагая К = 0, т. е. что f ( z ) удовлетворяет соотношению

 

мы будем иметь нечетную эллиптическую функцию.

В силу доказанного для такой функции точки z равной нулю, а следовательно, все периоды, равно, как все полупериоды, будут нулями или полюсами.

2. Если эллиптическая функция f ( z ) с периодами 2 и 2 ' удовлетворяет соотношению

 

f(z) = f(K-z),    (7)

 

где К - некоторое постоянное, то числа

 

 

будут нули или полюсы производной f '( z ). Действительно, дифференцируя соотношение (7), мы видим, что производная f '( z ) удовлетворяет соотношению вида (6), откуда и следует наше утверждение вследствие утверждения 1.

В частности, если К равно нулю, т. е. если f(z) - четная функция, то ее производная будет нечетной и будет иметь нули или полюсы в точках, изображающих периоды и полупериоды. Приложим теперь эти утверждения к эллиптическим функциям второго порядка.

Обозначим через  и  полюсы такой функции, расположенные в параллелограмме периодов. Пусть сначала  неравно , т. е. оба полюса простые. В силу теоремы 5, если

 

 

то

 

,

 

откуда вытекает соотношение вида (7):

 

 

следовательно, по утверждению 1 точки

 

 (8)

 

будут нулями или полюсами производной f '( z ). С другой стороны, мы знаем полюсы производной f '( z ); она имеет в точках  и  полюсы второго порядка. Так как, очевидно, точки  и  не будут конгруэнтными с точками (8), то производная f '( z ) должна обращаться в нуль во всех четырех точках (8). Образуем теперь функцию

 

которая будет эллиптической с теми же периодами, что и f(z), восьмого порядка; эта функция имеет два полюса четвертого порядка в точках  и  и нули второго порядка в четырех точках (8).

Последнее заключение сделано потому, что в точках (8) функция F ( z ) обращается в нуль вместе со своей производной. Заметив, что  есть эллиптическая функция с теми же периодами, что и F (z), того же порядка и с теми же нулями и полюсами, мы на основании теоремы 2 (следствие 2) заключаем:

 

 

Откуда

 

 (9)

 

Полагая

 

 

Найдем

 

 (10)

 

где R ( ) - полином 4-й степени относительно . Таким образом, эллиптическая функция второго порядка

 

может быть рассмотрена как обращение эллиптического интеграла первого рода (10).

Пусть теперь  равно , т. е. эллиптическая функция второго порядка , имеет в точке  двойной полюс. В этом случае  удовлетворяет соотношению

 

 

точка  будет полюс третьего порядка для , ее нули расположены в точках

 

 

Образуем функцию

 

 

которая будет эллиптической с теми же периодами, что и , шестого порядка; эта функция имеет полюс шестого порядка в точке  и нули второго порядка в точках , , . Последнее заключение сделано потому, что в точках , , функция Ф ( z ) обращается в нуль вместе со своей производной.

Заметив, что  есть эллиптическая функция с теми же периодами, что и Ф ( z ), того же порядка и с теми же нулями и полюсами, мы на основании теоремы 2 (следствие 2) заключаем:

 

 

Откуда

 

. (11)

 

Полагая

 

 

Найдем

 

, (12)

 

где  - полином третьей степени относительно . Таким образом,

эллиптическая функция второго порядка

и в случае двойного полюса может быть рассмотрена как обращение эллиптического интеграла первого рода вида (12).

 

Примеры. приложения