Вычисление длины дуги эллипса

Для начала введем понятие эллиптического интеграла. Эллиптическим интегралом называется интеграл вида

 (13)

где R – рациональная функция своих аргументов и  - многочлен третьей или четвертой степени. В отдельных случаях этот интеграл может выражаться через элементарные функции, как например, интеграл

В этом случае он называется псевдоэллиптическим.

Вообще же интеграл (13) не выражается в элементарных функциях. Можно показать, что с помощью элементарных подстановок и преобразований эллиптический интеграл преобразуется к одной из трех канонических форм

 (14)

где k и l – постоянные. Интегралы (14) называют эллиптическими интегралами в форме Лежандра, соответственно, первого, второго и третьего рода. Число k называют модулем интеграла.

Подстановка

приводит интегралы (14) к тригонометрической форме

 (15)

Аргумент  называется амплитудой эллиптического интеграла. Для интегралов в форме (15) приняты следующие обозначения:

Особенно часто встречаются интегралы с амплитудой , равной ; они называются полными и для первых двух из них приняты специальные обозначения

Вычисление дуги эллипса

приводит к эллиптическим интегралам. Действительно, отрезок дуги, соответствующий изменению абсциссы от 0 до x равен

Где

Это – эллиптический интеграл второго рода в форме Лежандра. Полная длина эллипса выражается через эллиптический интеграл

 (16)

Этому обстоятельству и обязаны своим названием эллиптические интегралы, а также их обращения – эллиптические функции.

Эллиптические координаты

Эллиптические координаты также связаны с эллиптическим функциями. Чтобы ввести их, рассмотрим уравнение

 (17)

оно третьей степени по p имеет при фиксированных x , y , z три действительных корня , , , удовлетворяющих неравенству

.

Эти корни называются эллиптическими координатами точки (x , y , z). Система координат ( , , ) ортогональна, так как поверхности

представляют собой, соответственно, софокусный эллипсоид, однополосный и двуполосный гиперболоиды, т.е. взаимно ортогональные поверхности (рис. 2).

Нетрудно вывести формулы, выражающие декартовы координаты через эллиптические. Для этого достаточно привести левую часть (17) к общему знаменателю и, заметив, что в числителе при этом получится многочлен третьей степени относительно p со старшим коэффициентом -1, разложить его на линейные множители

Рисунок 2

Чтобы получить (18), остается умножить обе части, соответственно, на , ,  и положить

 (18)

Заключение

Мы дали аналитическое представление для любой эллиптической функции, отталкиваясь от сформулированного ее дескриптивного определения. Для рациональных функций мы имеем два аналитических представления. В основе перового из них лежит задание полюсов рациональной функции и соответствующих им главных частей, что приводит нас к разложению рациональной функции на простейшие дроби. В основе второго аналитического представления рациональной функции лежит задание ее нулей и полюсов, что дает нам возможность представить ее в виде отношения произведений линейных множителей.