Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь  


Вычисление длины дуги эллипса




Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Для начала введем понятие эллиптического интеграла. Эллиптическим интегралом называется интеграл вида

 

 (13)

 

где R – рациональная функция своих аргументов и  - многочлен третьей или четвертой степени. В отдельных случаях этот интеграл может выражаться через элементарные функции, как например, интеграл

 

 

В этом случае он называется псевдоэллиптическим.

Вообще же интеграл (13) не выражается в элементарных функциях. Можно показать, что с помощью элементарных подстановок и преобразований эллиптический интеграл преобразуется к одной из трех канонических форм

 

 (14)

 


где k и l – постоянные. Интегралы (14) называют эллиптическими интегралами в форме Лежандра, соответственно, первого, второго и третьего рода. Число k называют модулем интеграла.

Подстановка

приводит интегралы (14) к тригонометрической форме

 

 (15)

 

Аргумент  называется амплитудой эллиптического интеграла. Для интегралов в форме (15) приняты следующие обозначения:

 

 

Особенно часто встречаются интегралы с амплитудой , равной ; они называются полными и для первых двух из них приняты специальные обозначения



 


 

Вычисление дуги эллипса

 

 

приводит к эллиптическим интегралам. Действительно, отрезок дуги, соответствующий изменению абсциссы от 0 до x равен

 

 

 

Где

 

 

Это – эллиптический интеграл второго рода в форме Лежандра. Полная длина эллипса выражается через эллиптический интеграл

 

 (16)

 

Этому обстоятельству и обязаны своим названием эллиптические интегралы, а также их обращения – эллиптические функции.


Эллиптические координаты

Эллиптические координаты также связаны с эллиптическим функциями. Чтобы ввести их, рассмотрим уравнение

 

 (17)

 

оно третьей степени по p имеет при фиксированных x , y , z три действительных корня , , , удовлетворяющих неравенству

 

.

 

Эти корни называются эллиптическими координатами точки (x , y , z). Система координат ( , , ) ортогональна, так как поверхности

 

 

представляют собой, соответственно, софокусный эллипсоид, однополосный и двуполосный гиперболоиды, т.е. взаимно ортогональные поверхности (рис. 2).

Нетрудно вывести формулы, выражающие декартовы координаты через эллиптические. Для этого достаточно привести левую часть (17) к общему знаменателю и, заметив, что в числителе при этом получится многочлен третьей степени относительно p со старшим коэффициентом -1, разложить его на линейные множители

 


Рисунок 2

 

 

Чтобы получить (18), остается умножить обе части, соответственно, на , ,  и положить

 

 (18)

 


Заключение

 

Мы дали аналитическое представление для любой эллиптической функции, отталкиваясь от сформулированного ее дескриптивного определения. Для рациональных функций мы имеем два аналитических представления. В основе перового из них лежит задание полюсов рациональной функции и соответствующих им главных частей, что приводит нас к разложению рациональной функции на простейшие дроби. В основе второго аналитического представления рациональной функции лежит задание ее нулей и полюсов, что дает нам возможность представить ее в виде отношения произведений линейных множителей.

 




Читайте также:
Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас...
Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (155)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.014 сек.)
Поможем в написании
> Курсовые, контрольные, дипломные и другие работы со скидкой до 25%
3 569 лучших специалисов, готовы оказать помощь 24/7